2017-11

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≪ 難問その1 の発展 ALL 漸近級数 2 ≫

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漸近級数 1

応用数学では頻繁に使われる漸近展開だが、通常のテキストでは、その数学的な取り扱いをあまり見かけない。そもそも漸近展開が数学的に認められたのはH・ポアンカレ(1854-1912)以後であり、テイラーの定理が1712年に述べられている事実と比較してみると、数学の歴史としては比較的新しい。

テイラーの定理を用いて、関数を級数和として定義する方法は、その厳密性の面からも標準的な手法であろうが、漸近展開は級数としては発散型であり、その意味は捉えにくい。ポアンカレによる漸近級数の定義を見ると分かるように、それは級数和そのものに対してではなく、その剰余項によって定義されている。
次のような1/xの級数を考えよう。

fn(x) = a0 + a1 x-1 + a2 x-2 + a3 x-3+..... + an x-n

fn(x)が次の性質を満たす時、f(x)の漸近級数と呼ぶ。

漸近級数としての条件: limx→∞ xn [ f(x) - fn(x)]=0


このままだとfn(x)はx=∞でのテイラー展開のように思えてしまうが、テイラー展開との違いは

limn→∞ xn [ f(x) - fn(x)] 

が存在しなくても良い事である。実際漸近級数として扱われる例の多くは

limn→∞ xn [ f(x) - fn(x)]=∞

である。

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