2017-07

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≪ 漸近級数 4 ALL タチコマな日々でほっとする ≫

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漸近級数 5

漸近級数について書いてきたがそろそろ疲れがでてきた。やはり物理に関する事を少し離れただけで、やる気を持続するのは難しい。そういうわけで今回は証明はおろか具体例も抜きで、漸近級数に関する性質を箇条書きする。機会をみて詳しい説明をつけるつもりだが、当分先の話だろう。とりあえず私が知っていることは全て書いたので、漸近級数に関する記事はこれで最後にする。
(1)漸近級数の一意性
一つの関数に関して、漸近級数は一意的にきまる。ただし、逆は成立しない。つまり一つの漸近級数には、無数の関数が対応する。


(2)漸近級数の項別積分可能性
殆ど自明だが、漸近級数を積分すれば、元の関数の積分に対する近似式を与える。


(3)漸近級数の微分は一般的にはダメ
一般的には、漸近級数の微分は元の関数の近似式になっていない。
例えば e-xsin(ex) が漸近級数としてはゼロである事を考えると....

コメント

wikipediaでスターリングの公式を見てみました。
lim f(x)/g(x) = 1 で、 x が大きいとき f(x) = g(x) と近似できるところを、
精度を高めるために f(x) = g(x) (1 + a/x + b/x^2) として a,b を別途求める印象でした。
これは便利そうだ……。(使う予定はないけど)

漸近級数は、項数を増やしたらかえって近似精度が悪くなることもある。
なおかつ、項数を無限にするのは原理的に無理っぽい。(無限項だと極限に影響する)
というあたり、級数展開(テイラーやフーリエも含め)が元の関数に近づくのは
言ってしまえば「偶然」なのかなという気もします。

またまた俄僅、コメントありがとうございます。
閑散とした私のブログにコメントくださるとは、涙が・・・ポロリ。

えーと、涙は置いといて、漸近級数ですが、どういうときに使われるかというと、やはり有名なのはガンマ関数Γ(x)に対するスターリンの公式でしょうか。漸近展開は大きなxでの展開ですが、x=10程度での近似としては非常に有効です。そのほかにも殆どの特殊関数に漸近展開が存在していると思います。テイラー展開が存在する場合でも、その収束性があまりよろしくない事があり、そういった場合には逆に漸近展開の方が有効だったりします。

特に数値計算では、多くの項を足すというのはなかなか大変だったりして、数項で非常に良い近似を与える漸近展開は重宝されています。そこら辺のことも具体例を挙げて示しておくほうが良かったですね。 またエネルギーをためて記事を書きます。

お疲れ様でした。
どのような場合に漸近級数を使うのかなという気はしますが、
何らかのややこしい力があって十分離れた場合を考えるのかなという気もします。
(^^;

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