2017-09

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≪ 直感と論理のはざまで ALL 直感と論理のはざまで 3 ≫

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直感と論理のはざまで 2

二夜


「関数f(x)がx=x0でaに収束する」を高校数学では


(1) limx→x0 f(x)  = a


と書けばすんだ。 多少長くなるが、大学では


(2) ∀ε>0 , ∃δ>0  s.t.  | x - x0| < δ  →  | f(x) - a| < ε


と表現する。イプシロン・デルタ論法である。大抵の人には(1)の方が分かりやすく、(2)は意味を理解するために暫しの時間を要する。 イプシロン・デルタ論法は一見複雑なのだが、直感的を廃した証明が可能になるという大きなメリットがある。


 

我々はゼロや∞、または無限小の概念を直感的に知っているつもりになっているかもしれないが、それらは考えるほど甘いことではない。例えば


(3) limn→∞ 1/n  = 0


は多分中学生でも理解できるだろう。それは直感的には殆ど自明の事かもしれない。しかし、この表現に現われた∞とは一体何なのだろうか? 多分、nを大きく取ってゆけば次第に1/nはゼロに近づくという事だろう。しかし実際には、nにどんな大きな数を代入しても1/n がゼロになる事はないのだ。それは「近づく」ではあるが「ゼロそのもの」ではない。屁理屈をこねればいくらでも文句を付ける事ができる。よって数学者がこのような曖昧な表現を嫌って、極限についての定義を模索したことも頷ける。結果イプシロン・デルタ論法にたどり着いたわけだ。


因みに、イプシロン・デルタ論法では(3)を証明するのに、アルキメデスの公理(任意の正の実数a、bには a x > b となるxが存在する)を用いる。


(4) アルキメデスの公理より∀ε>0 に対して Nε>1 となるNが存在する。


よって  n>N → |1/n -0 | < 1/N < ε (証明了)


これで1/nのn→∞の極限はゼロに収束するということが証明されている。一方で極限操作を曖昧にしている(2)の立場では、この証明にどこから手を付けて良いか悩んでしまう。


 


 


 


 


 


 


 

コメント

domo!

ありがとうございました。考えてて行き詰まりだったのか聞いてみたかったんです。同意見だったりしたからというのもありまして。
そうなんですよ。その辺も考えていますがなかなか。それに大体わかっていますので。アマチュアで研究するというかそういうのが好きで、科学の楽しそうなところとも思います。

よく知りませんが、コメント

真に申し訳ありませんが、私はあまり専門的な話はフォローしてません。
ちょっとした雑学程度の知識しかありません。 と断わりを入れた上で、コメントします。

自然学者さんが、時空の歪みなしで説明できるというのであれば、それを計算した上で専門の方に意見を伺うのが良いでしょう。ただし、それだけでは、結局は相対性理論と同じ事を、解釈を変えただけであると評価されかねません。
やはり相対性理論では説明できない、新しい予言を考え事が、一般に認められる必要条件だと思います。

色々と考えるのは楽しいので、自分の理論をつくることも人生を豊かにするという意味で良いと思います。 ただ、理論を宣伝する際には注意をはらったほうがよいと思われます。 

一般論しか言えずに申し訳ありません。

教授? お話を

こちらを知ったのは相対性理論を検索してです。ちょっとお話したいことがあります。
水星の近日点の移動について、これは太陽に近いからその分の重力の影響で計算できるのではありませんか。時空の歪みではなく、水星は太陽の近くで更に引き寄せられているという考えです。(近い分が計算されていないからそれを考えられないだろうか)

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