アトムの物理ノート

コメント欄に数式を書き込むのは面倒なので記事としてアップします。

証明したいのは

lim_n→∞ a_n = a (≠0)

のときに、

lim_n→∞ 1/a_n =1/a　

を示す事。勿論ε−δ論法を使っての証明です。
a_nはaに収束より　　

∀e ∃N　s.t. ∀ｎ＞Ｎ　→|a-a_n|　<　e ........(1)

これが出発点です。噛み砕くと

a- e < a_n < a+e (n>N) .........(2)

と書いてもよいでしょう。証明の本質では有りませんが、以下では e/a < 1/2 を仮定します。 eは任意に小さく取れますから、問題ないでしょう。　さて、示したいのは1/a_nが1/aに収束するかどうかなので、差を取ってみましょう。

|1/a-1/a_n|　= |(a-a_n)/(a　a_n)|　< e/(a*(a-e)).........(3)

補足の式を使うと、これは

|1/a-1/a_n| < (e/a^2)(1+2e/a) < 2e/a^2

です。よって 2e/a^2 <δとeを選んでおけば

∀δ ∃Ｎ s.t. n>N→|1/a-1/a_n| <δ

が成立します。　（証明完了）
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(補足） |ｘ| < 1/2 に対して　1/(1-x)<1+2x　が成立します。