2017-06

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直感と論理のはざまで 6

証明を具体的に考えてなかったが、 俄僅 さんの書き込みをみて記事にまとめました。
大体において 俄僅 さんの証明と同じですが、多少短く書く工夫をしました。 間違いなどありましたらまた、連絡下さい。

数列anのn項平均 Sn≡ (a1+ a2 + a3 + ・・・・ + an )/n として

limn→∞ an=a

のときに

limn→∞ Sn=a

を証明しなさいというのが問題。 このままだと式変形が煩わしいので多少式をいじって

Sn-a = [ (a1-a) + (a2-a) + (a3-a) + ・・・・+ (an-a) ]/n

を考えます。 すると、問題は数列 bn≡an-a がゼロに収束するとき、部分和平均

Tn≡ (b1+ b2 + b3 + ・・・・ + bn )/n

がゼロに収束する事を示すことに等価です。

==================================
前提より、bnはゼロに収束し ∀ε ∃N s.t. ∀n>N  |bn| < ε。よって ∀n>Nに対して

Tn = (N/n)TN + (bN+1+ bN+2 + bN+3 + ・・・・ + bn )/n

< (N/n) TN + ε(n-N)/n

< (N/n) TN + ε

最初の等号では、n項和をN項までの和とそれ以降にわけた。 二項目の不等号では、N項以降のbnがεで抑えられる程度にゼロに近い事を使った。 最後の式は単純な足し算引き算の問題である。 またbn≦ Nの最大項をbmaxとすると、最後の式の第一項にあるTNが TN ≦ bmaxと評価される。 よって

Tn  <  bmaxN/n + ε

がいえる。 また n > bmaxN/ε と取れば

Tn < 2 ε  

と上限が抑えられ、証明が完了する。 纏めると



∀δ ∃M s.t. ∀n>M  |Tn| < δ

実際 ε < δ/2 として |bn >N |<ε を満足するNを用いて

M= (N/ε) max(bi≦N)

とMが評価される。


コメント

をを、二つも証明をありがとうございます。よく読むことに致します。
ちなみに私の証明にはMaxと書くべきところをMinと書く間違いがありました。

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