2017-05

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≪ 直感と論理のはざまで 7 ALL 解析接続1 ≫

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論理と直感のはざまで 8

第8夜

そろそろ、関数の連続性については掘り下げてゆこう。 関数とは、ある値が与えられたとき、それに対応した値を一つ返すようなもの。 これを数学では写像という。大事なのは、一つの値に対して答えも一つ。 小学校(?)で習う y=x や y=x2はそういった関数の例であり、xに何らかの値を入れると、それに伴いyの値がきまる(一対一対応)。
それ故、関数をグラフに描いて視覚化することが可能である。 関数をグラフに描くという事、それは原始的な作業だが数学的なセンスや直感を養うという面では最高の学習方法であろう。 しかし、そこで培った素朴なセンスは、高等数学へいったときに打ち壊されてしまう。  例えば、多くの人が

「連続な関数というのは、幾つかの点で折れている事はあっても、大抵滑らか。」

だと思っていないだろうか? 鉛筆を持って紙の上に線を描いてみよう。 ただし鉛筆の先を紙の上に置いたら、線を描き終わるまで紙の上から離してはいけない。 描かれた線を見てほしい、我々が直感的に連続な線と思えるものはこういったものであろう。 それは連続であり、殆ど滑らかな線と呼ばれる。 「殆ど滑らか」というのは幾つかの点で線が「カクッ」と折れた場合も有るからである。 しかし、そういった線が折れた点は高々有限個であろう。 逆の発想として、いたる所折れた線を考えてみるとよい。 そんなものは描けないし、想像すらできない。 


描けない=存在しない   (直感派)


というのが多分直感的な立場だろう。 ところが数学の世界ではそれは存在可能である。 つまり



数学ではいたる所微分不可能で連続な関数が存在する。 これは描けるか?


大事なのは、「連続」といったときに常にε-δの意味である。所謂、素朴な連続の概念は捨て、ε-δ論法に基づく連続性の定義を受け入れたとたん、こういったヌルッ(私の感覚ではヌルッと表現したい)とした世界の存在を認めなければならなくなる。

連続なのに、いたる所微分不可能!?

ショックを受けて欲しいところだが、どうだろうか。 私の場合、初めてそういった話を聞いたとき、好奇心と同じくらいまたはそれ以上に、恐怖を感じた。 開けてはならないパンドラの秘宝を渡されたのではなかろうかと。 今日はここまで。関数の連続性をとっかかりに、ゆっくりと解析学の世界へ足を踏み入れてみたい。

コメント

式のまとめ方(最終形)って経験とセンスで、学校では教えてくれなかったりするので、聞いてみました。新年早々変な質問書いてしまってすみません。

今年ものんびり、まったり数学を楽しみましょう♪

あけおめ

優乃さん、久しぶりです。新年の挨拶もしてなかったですよね、すみません。
今年ものんびりと、付き合ってもらえたら嬉しいです。

質問の数式ですが、それ以上に簡単に書ける気がしません。何か特別な意図があるなら、多少の変形はできるかもしれませんが、大体そんな感じじゃないでしょうか。

ちなみに最近は、ローンの返済方式の数式から派生して、数列に嵌まっておりますw

明けましておめでとうございます。
次回の記事が楽しみです♪

ところで、以下の式を整理するとしたらアトムさんだったら、どこまでまとめますか?
  S_n = (1 - r^n) / (1 - r)^2 - n * r^n / (1 - r)
上記は、a_n = n * r^(n - 1) の数列の和です。一般項はシンプルなのに和となると少しエレガントさに欠けて見えます。
a_n = n^2 * r^(n - 1) の数列の和も求めてみましたが、まとめ方のヒントは得られませんでした。お時間あるときに考えて下さると嬉しいです。

コメントは励ましにもなりますし、自分の勉強にもなりますから、すごく有難く思っています。 今年もよろしくお願いします。 年末から仕事が忙しくてとても更新ができないので、残念です。 もう一月ほど仕事に追われる日々が続きそうです。 また時間を見つけて記事を書きますので、たまには見に来てください。

遅ればせながら新年明けましておめでとうございます。昨年中は私の質問に多くの回答解説をいただきありがとうございました。これからも連載を楽しみにしております。それでは簡単ながら。

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