2017-08

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≪ 論理と直感のはざまで 8 ALL 解析接続2 ≫

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解析接続1

解析接続について書きたい。 あまり高等なことは書けないので、詳しい証明などを知りたい方は専門の参考書を読んでください。 まず、解析接続とは何か、ということを簡単な例で示したい。

級数展開 S(x)=1+x+x2+x3+x4+x5+.....+x=Σn=0→∞ xn

を考える。 この級数はxのべき乗を「無限」に足していくことを意図しているわけだが、多少注意が必要である。 なぜかというと、変数xにはどんな数が入るか未だ不明だからだ。 この無限級数はxが小さい場合には、高次冪の項へいくにしたがってxnが小さくなるので、この無限和が定義できるのだが、xが大きい数だと高次項へ行けばいくほどxnが爆発していくのでこの和は定義できない。 定義できないものを数学に持ち込んではいけない。 

解析接続を説明するときにも、何時も誤解されるのはこういった点を押さえておかないからであろう。数学の人たちは関数を定義する前に、定義域を書く習慣があるようだが、それはこういう曖昧さを避けるためだろう。 つまりこのS(x)は定義域も含めて
-------------------------------------------------------
|x| < 1 に対して次の∞級数和S(x)を定義する:

S(x)=1+x+x2+x3+x4+x5+.....+x=Σn=0→∞ xn
---------------------------------------------------------
と注意深く書いておく必要がある。 先ほどxが小さいときには無限級数が定義できると書いたが、それはxの絶対値が1より小さい場合に限るのである(証明は省略)。

さてこの級数和は高校数学でも教えられると思うが、F(x)= 1/(1-x)に等しい。 「等しい」という意味は|x} < 1 の領域に限れば

S(x)=F(x)     ( |x| < 1)

が証明できるという意味である。 しかし! このF(x)は |x| < 1 という領域以外でも、値を持つ、つまり定義することができる。 例えば

F(2)=1/(1-2) = -1
F(3)=1/(1-3)= -1/2

などなど。 つまりS(x)よりも、広い領域で定義された関数なのである。よってその定義域まで明記してF(x)を規定すると

---------------------------------------------
x≠1で定義された関数F(x): F(x)=1/(1-x)
---------------------------------------------

ということになる(x=1ではF(x)は定義されていない)。


そこで、S(x)とF(x)の関係について

------------------------------------------------------------------------
Q: |x| < 1 で定義された S(x) は、関数 F(x) の別な表現に過ぎないのではないか?
------------------------------------------------------------------------

という疑問がわく。 
1/3 が 0.3333333・・・・と表現されたり、0+3/10+3/100+3/1000+・・・・とか書かれるのと同じような感覚である。 答えだけ述べておくと Qの疑問への答えは、その理解でよろしいということになる。 ただし多少補足をつける必要がある。 続く・・・・

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