2017-10

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解析接続2

解析接続でよく陥る違いに、次のようなものがある。 

S(x)はF(x)に等しいというが S(x) = 1+x+x2+x3+x4+・・・・・+x においてx=2を代入すると

S(2)= 1+2+4+8+16+・・・・・+∞


となり、一方 F(2)=1/(1-2)=-1 だから、


1+2+4+8+16+・・・・・+∞=-1


という式が得られ、これは宇宙の神秘を表しているのか? というような誤解である。
これは当然可笑しい。そういう誤解に陥らないように、S(x)の定義域を明確にしておく必要あったわけだ。 つまり、「x=2を代入すると」というところから既に良くない。 x=2ではS(x)がそもそも存在しないのでこういった比較は意味がないという事になる。 もともとF(x)という関数があり、それを S(x) のように級数和で書くこともできるが、この表現は|x| < 1 に限った表し方であるということになる。つまり 

「F(x)は領域 |x|<1に限りS(x)のように表現することができる」


である。 このように考えると誤解が生まれないだろう。 が、しかしこの考え方は解析接続という言葉の意味を正しく伝えていない。 解析接続の立場は、多少視点が異なり


「S(x)を |x| <1 以外の領域へ拡張するとF(x)が得られる」


と表現した方が正確であろう。 この拡張という言葉に、さらに、「関数の解析性を要求すると」という条件をつけたものが、解析接続の定理とでも言うべきものである。つまり

「S(x)を |x| <1 以外の領域へ、解析性を要求して拡張すると F(x) が得られる」

と言える。 解析性という言葉の意味を説明していなかったが、それは「微分ができること」(補足参照)と読み替えてもらってよいだろう。 つまり、解析接続の定理をもう少しくだけた表現で書けば


================== 解析接続の定理=========================

「S(x)を |x| <1 以外の領域へ、微分ができることを要求して拡張すると F(x) が得られる」

========================================================

と述べても良いだろう。 先ほどの捉え方とは異なり、ある定義域RにおいてS(x)という関数があった場合に、領域Rの外でも使える関数F(x)を求めることができるということである。 ただし、何の条件もなく、もともと定義されていない領域へ関数を拡張することは無理である。 そこで微分可能性、つまり関数を滑らかに拡張していくとF(x)が得られるというわけである。 


(補足)微分可能性とテイラー展開可能性について
ここでは、解析性を「微分可能性」と読み替えたが、一致の定理の証明ではテイラー展開が可能だという仮定の方が本質的である。 複素関数の理論では ∞回微分可能=テイラー展開可能 なのでどちらでも良いのだが、実関数だけに話を限ると、そういうわけにはいかなくなる。

例えば http://d.hatena.ne.jp/hiroyukikojima/20080101 などを読んでみるのも参考になるかもしれない。

コメント

その通りです

チルノさん、初めまして。チルノさんが書いているように、
x^∞という書き方はおかしいですね。あまり厳密なことに拘らない
つもりだったので、このような手抜き記事になってしまいました。

正しくない表現であることを認めた上で、このまま記事に変更をくわえ
たくないという気持ちがあります。それは、細かい厳密性に拘った書き方を
すると、多くの読者の方に難しく見えるのではないかという理由からです。

このままでも許容範囲ではないかと思いますが、いかがでしょう。

数式

x∞という書き方はおかしいと思います


書くとするなら

1+x2+x3+・・・
または
lim[n→∞]1+x2+x3+・・・xn

では?


中3の知識と考えなのでわかりませんが、∞は数として扱わないですよね?
⇒∞+1とかも、当然定義されないと思います。
逆に∞+1が定義されたら、well-definedでなくなるような気がします

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