アトムの物理ノート

次の微分方程式を F(０)=1という条件で解こう。


(1-x) d/dx F(x) = F(x)


解ける人には直ぐに解ける。　ここではF（ｘ）に級数和の形を仮定して解こうと思う。つまり
F(x)=Σ_n a_n xⁿ として、a_nを求めると答えがわかったと言うわけである。
まず一回微分すると d/dx F(x) =Σ_n a_n n　 x^n-1。　これに（１−ｘ）を掛けると

(1-x) d/dx F(x) = Σ_n a_n n x^n-1 - Σ_n a_n n　xⁿ .........(1)


よって解くべき微分方程式は

Σ_n a_n n x^n-1 = Σ_n a_n n　xⁿ　+　Σ_n a_n xⁿ .........(2)

となる。(1)の2項は右辺へ移した。　左辺の級数和においてｎ＝ｍ＋１　と変数をおきかえると

左辺：Σ_n a_n n x^n-1 ＝Σ_m a_m+1 (m+1) x^m
＝ Σ_m a_m+1 m x^m + Σ_m a_m+1 x^m = Σ_n a_n+1 n xⁿ + Σ_n a_n+1 xⁿ

で、最終的に微分方程式は

Σ_n a_n+1 n xⁿ+ Σ_n a_n+1 xⁿ = Σ_n a_n n　xⁿ　+　Σ_n a_n xⁿ

となる。　これをじっと睨むと答えは a_n+1=a_nだとわかる。またF(0)＝１の条件より　a₀=１　なので


F(x) = Σ_n xⁿ


が答えとなる。　これを元の微分方程式に代入すると答えを容易に確認できる。　さて、これで正しいのだが、この表式だと　ｘ　が１より大きい場合に　F(ｘ）　が定義されていない。もともとの微分方程式は特にそういった制限はないのだが、どうしてだろう？　

それはここでの解法に問題がある。つまり求めた　F(x)　が|x| < 1　以外では使えないのは、もともとの仮定、「F(x)を級数和で求めよう」に原因がある。　そこで|ｘ| ＞ １ でも答えを求めたいという事になる。つまり

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F(x)は|x| < 1 の領域では

F(x)＝1+x+x²+x²+x³+・・・・+x^∞

と求まったが、その他の領域ではどうなるの？
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もう分かっていると思うが　この級数和を |ｘ| ＜１　以外でも使える形に拡張したいというわけである。当ににそれは解析接続で得られ、 F(x) = 1/(1-x)　である。 実際 F(x)=1/(1-x)　は　|x| < 1では級数和と一致し、当然微分方程式を満足する。　但し解析接続された関数は　|x| <1 以外でも使え、当然（ｘ＝１を除くすべての点で（補足参照））微分方程式も満足する、つまり級数和よりも一般的な答えである。　


このように解析接続の使われ方を見れば、だいぶ理解が深まるのではないだろうか。　解析接続は特殊な形を求めた後に、それを一般化するというふうに使われる。　ところで特殊な解を求めた後に、それを大きな領域へ拡張できるかどうかは、もともとの問題に依っている。　今回のように、関数の微分可能性を仮定できる場合は、当然解析接続が有効である。　しかし一般には拡張の方法は一意的でなく、解析接続以外の方法もありえるだろう。

微分可能性を仮定して関数を拡張するとは、どういう事か、図で見てみよう。　ｘ≦−１へ関数F(x)を拡張する方法を考える。　先ず、我々は|x| < 1では関数F(x)を知っているとしよう。　これが図１である。




そこでｘ≦−１へ関数を繋ぐように適当に線を引いたとしよう。




左側に3っつの線をひいた。それぞれ

青：　A(x)=1 (x≦-1)
赤：　B(x)=1/2 (x≦-1)
黒：　C(x)=1/(1-x) (x≦-1)

である。　青いラインは　−１＜ｘ＜１　から来る　F(x)　とはｘ＝−１で繋がらない。つまりこういった関数の拡張の仕方は関数の連続性を考慮すると排除される。　解析性という言葉には　関数の連続性も入っている。　次に赤のラインは一応関数として連続な繋ぎ方にはなっている。　しかし図を拡大してみるとｘ＝−１での接続の滑らかになっていないことが分かる。




つまり、これだとｘ＝−１で微分できない。こういった接続の仕方も解析接続では排除される。解析接続は知っている関数を滑らかに拡張していく方法なのだ。　この方法が自然だということは誰しも認めるところだろう。様々な場面で解析接続が関数の拡張の方法として使われるのも納得がいくだろう。



（補足）ところで、なぜｘ＝１だけは解析接続された関数でも定義されてないのかというと、もともとの微分方程式がｘ＝１で特異な形をしているからに他ならない。この点だけはどうしても、関数を定義することができない。これは解析接続がうまくいかないというわけではなく、もともとの微分方程式がｘ＝１で、関数が発散することを要求しているのためである。