2017-07

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≪ チェレンコフ光 ALL 直感と論理のはざまで 9 ≫

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微分可能でテイラー展開不可能

(この記事は、テイラー展開について多少知識を持っている方のみを対象として書いています。)

解析接続の記事で、「解析性」を「微分可能性」だと考えると大体良いというようなことを書いたが、正確ではない。 複素関数論の解析性について説明するのは荷が重いので、実関数に限り、関数の微分可能性と、その連続性、またそのテイラー展開可能性についての話をしてお茶を濁すとしよう。
このテーマは「論理と直感のはざまで」の弟9回の高木関数、そして10回の関数の連続性の定義とも関係しているのでそちらも参考にして欲しい。
以下一変数の実関数 y=f(x) を考える。 これはxに対する関数の値yをグラフにすれば線である。 つまり関数とは線、微分とは線が滑らかであるかどうかを決める量と考えてよいだろう。 すると連続な関数とその微分との関係は

「線の連続性とその滑らかさの関係」

と考えて良いだろう。 さて、数学書からの結果だけを取り出して次のようなことが言える。

「関数が連続であっても、滑らかでないことはありえる。」

連続だが折れた線を考えればこれは当たり前ともいえる。 通常考えうるような折れた線などはその一例で、高々有限個の点で折れている線、または高々有限個の点で微分不可能な曲線といわれる。 また、連続でも至る所で微分不可能な関数というのも存在している(「論理と直感のはざまで9」で定義した高木関数など)。 解析学で扱う関数としては、これはかなり病的な類であろう。

さて、微分は関数の滑らかさと関係しているのは明らかだが、微分可能性とテイラー展開とは本来ほとんど関係がない。 ただ通常扱われる関数は微分可能であればテイラー展開可能なものが多いことも事実である。 その背後には解析関数の存在があるのであるが、実関数だけ見ているとなかなかそれは見えてこない。例えば

f(x)=exp(-1/x) (x≠0)

f(0)≡limx→+0 exp(-1/x)

などはx=0での微分が全て f(n)(0)=0 となってしまうが、この関数などはx=0でテイラー展開不可能である。 微係数が定義されていることとテイラー展開は別物である。

単なる知識の羅列となって、情報が整理されていないなあと思うが、とりあえず公開します。
こういうのってブログだと許される気がするのですが・・・違う感覚の人もいるでしょうね。





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