2017-04

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≪ 微分可能でテイラー展開不可能 ALL 論理と直感のはざまで 10 ≫

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直感と論理のはざまで 9

弟9夜

いたるところ微分不可能な連続関数の例として有名な高木関数をグラフにしてみる。
高木関数の構成方法は、wikipedia のものを採用した。 のこぎり関数 S(x)を

S(x) = minn⊆Z | x - n |

とする。これはx=1/2, 3/2 , 5/2 ,........にピークを持つノコギリの歯の形をした関数である。
高木関数はこのノコギリ関数を使って

T(x) = Σn=0→∞ 2-n S(2n x)

と定義される。 この和が収束し連続関数を構成することはほぼ自明なので証明はぬきにして、グラフを描いてみることにする。



黒いタンコブが集まったようなグラフがT(x)であり、赤い線は高木関数を構成する際にとったnに関する和に現れるノコギリ関数である。ノコギリ関数は変数が 2nx で広げられており、その値が 2 -n で縮小されたものとなっている。 つまりnが大きくなれば歯の細かいノコギリを次々足してゆく事に対応している。 その構成方法からわかるように、高木関数はフラクタル構造を持っていて、顕微鏡でその一部を細かくしても、やはり同様な凸凹図形となる。 これがいたるところ微分不可能な関数である理由である。ある意味病的なグラフだ、しかしそういった関数が数学的には定義できてしまう。 nが大きくなればなるほど細かい歯のノコギリ関数が足されることからも想像がつくように、イプシロン、デルタ論法の意味でこの関数は連続関数であることも容易に証明できる(と思う、と書く方が正確だ。何故なら自分で証明したことがないから)。

もちろんグラフはイメージを与えてくれるが、本物の高木関数ではない。 実際問題として和は有限項までしか取れない。 よってグラフ上で連続でいたるところ微分不可能な関数と言うものの本質を見せることはできない。ただイメージを与えてくれるだけだ。因みにnを大きくしてゆくと、本物の高木関数に近づくわけだが、その様子は次のグラフで見て取れる。

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