アトムの物理ノート

弟１０夜

タイトルの「論理と直感のはざまで」であるが、実は論理と直感、どちらを先におくべきかなと悩んでいた。　私が優先したいのは直感であるが、それは素朴な直感ではなく、論理によって鍛えられた直感である。　論理を踏んだ上で、築き上げたられた後付の直感である。　論理は必要だが、それだけでは虚しく感じてしまうからである。　そんな訳で、どちらを先におくべきかと悩んでいたが、結局なんとなく「論理と直感のはざまで」の方が語呂がいいようなので、これに固定しようと思う。


久しぶりに自分の書いた記事を読み返すと、記事ごとにテーマが微妙にずれているし、置き去りにされた話題もあるようだが、まあ、数学に関係して思いついたことをダラダラと書いているわけで、特に目的もないのでこれはこれで良しとしよう。 今回は、連続性の定義を書いておこうと思う。　過去の記事を読み返すと連続関数とその微分について触れたりしているのだが、関数の連続性の定義は与えていないようである。　思いついた事を、そのときの気分で記事にしているわけで、そういったチグハグもあります。

関数 ｆ(x) が x=aにおいて連続であるとは


f(a) = lim_x→a±0 f(x)


であること。 　多分これで良いでしょう。　それで、この定義に現れる極限操作はイプシロン・デルタ論法で与えられる極限の意味です。　よって、次のように書き直しておく方が便利でしょう。

∀ε ∃δ　 s.t. | x-a | < δ →　 | f(x)-f(a) |＜ε


それで、連続性をこう定義しておくと、以前の記事で議論した

f(x) = sin(1/x) (x≠0）
f(0)= 0 　

はｘ＝０で連続ではないということになる。　では、ｘ＝０でこの関数が不連続なのか？　という質問には、不連続性の定義が必要なわけだが（ちょっと調べてみたところその定義が見当たらないのだが）

不連続性　＝　Not[　連続性　]

とすると、不連続ですという答えにならざるおえない。　それでも、しつこく、それじゃｘ＝０で　ｘ＞０から来るｆ（ｘ）の線とは繋がらないのですね？　ズレルのですね？　と訊かれると・・・・　「そんなことは知りません」と応えるしかなさそうに（私には）思える。　sin(1/x)　は任意のｘ≠０に対して値を返してはくれるが、ｘ＝０には応えてくれない。　そこでｘ＝０だけは、ｆ（０）≡０と定義されているのだ。
この辺、数学に詳しい人に是非教えて欲しい。　


とりあえず、連続性は分かった事にしよう。　ε・δを使えば連続かそうでないかの判定はつく。
それで、この定義を使えば、弟９夜に出てきた高木関数は連続関数となってしまう。　まあ、これ自体は直感的にもそうかなという気がするので良しとしよう。　しかし、いたるところ微分不可能な連続関数というものは、今のところ私の直感では理解しがたい。　このような病的な関数は、物理ではなかなかお目にかからないので、免疫がないだけかもしれないのだが・・・・