2017-09

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≪ 直感と論理のはざまで 9 ALL 今でも輝きを放つ名曲たち 1 ≫

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論理と直感のはざまで 10

弟10夜

タイトルの「論理と直感のはざまで」であるが、実は論理と直感、どちらを先におくべきかなと悩んでいた。 私が優先したいのは直感であるが、それは素朴な直感ではなく、論理によって鍛えられた直感である。 論理を踏んだ上で、築き上げたられた後付の直感である。 論理は必要だが、それだけでは虚しく感じてしまうからである。 そんな訳で、どちらを先におくべきかと悩んでいたが、結局なんとなく「論理と直感のはざまで」の方が語呂がいいようなので、これに固定しようと思う。


久しぶりに自分の書いた記事を読み返すと、記事ごとにテーマが微妙にずれているし、置き去りにされた話題もあるようだが、まあ、数学に関係して思いついたことをダラダラと書いているわけで、特に目的もないのでこれはこれで良しとしよう。 今回は、連続性の定義を書いておこうと思う。 過去の記事を読み返すと連続関数とその微分について触れたりしているのだが、関数の連続性の定義は与えていないようである。 思いついた事を、そのときの気分で記事にしているわけで、そういったチグハグもあります。

関数 f(x) が x=aにおいて連続であるとは


f(a) = limx→a±0 f(x)


であること。  多分これで良いでしょう。 それで、この定義に現れる極限操作はイプシロン・デルタ論法で与えられる極限の意味です。 よって、次のように書き直しておく方が便利でしょう。

∀ε ∃δ  s.t. | x-a | < δ →  | f(x)-f(a) |<ε


それで、連続性をこう定義しておくと、以前の記事で議論した

f(x) = sin(1/x) (x≠0)
f(0)= 0  

はx=0で連続ではないということになる。 では、x=0でこの関数が不連続なのか? という質問には、不連続性の定義が必要なわけだが(ちょっと調べてみたところその定義が見当たらないのだが)

不連続性 = Not[ 連続性 ]

とすると、不連続ですという答えにならざるおえない。 それでも、しつこく、それじゃx=0で x>0から来るf(x)の線とは繋がらないのですね? ズレルのですね? と訊かれると・・・・ 「そんなことは知りません」と応えるしかなさそうに(私には)思える。 sin(1/x) は任意のx≠0に対して値を返してはくれるが、x=0には応えてくれない。 そこでx=0だけは、f(0)≡0と定義されているのだ。
この辺、数学に詳しい人に是非教えて欲しい。 


とりあえず、連続性は分かった事にしよう。 ε・δを使えば連続かそうでないかの判定はつく。
それで、この定義を使えば、弟9夜に出てきた高木関数は連続関数となってしまう。 まあ、これ自体は直感的にもそうかなという気がするので良しとしよう。 しかし、いたるところ微分不可能な連続関数というものは、今のところ私の直感では理解しがたい。 このような病的な関数は、物理ではなかなかお目にかからないので、免疫がないだけかもしれないのだが・・・・

コメント

「連続ではないが連結」な関数は無限振動する関数しかないですね。
x→0 で無限振動すれば f(x) は x 軸の振動幅部分にくっつきますから、振幅→0 でなければ連続じゃなく、f(0) が振動幅内にあれば f(x), x≠0 にくっつくという理屈ですから。
関数じゃなく曲線なら「円に巻きついていく曲線」とか「面を埋め尽くすペアノ曲線」とかありますが、原理は同じです。
いや、曲線なら「一筆書きできない曲線」 (たとえば T の字) は繋がってるけど連続関数で表せないという簡単な例があった。

連続ではないが,連結

hirotaさん,初めまして。書き込み有り難うございます。

二番目の書き込みは,理解できてないのでコメントをひかえます。
最初の書き込みで、hirotaさんは、[ f(x)=sin(1/x) , f(0)=0 ] で定義された
関数は、x=0で連続ではないが、x=0で繋がっていると主張しているわけですが、
私には全くイメージ出来ません。連続ではないが繋がるという例でもう少し判りやすい
例があったら教えてください。

ゆっくり考える暇がないので、返事は遅れるかも知れませんが,コメントはチェックしています。

つい余計なことを書いてしまったので「不連続」に戻りますが、「連続関数」と言えば全ての点で連続なのですが、「連続関数でない」は一点でも連続でない点があれば他の点が連続であっても関係ないです。
そうすると「不連続関数」を定義しようとすると「一点でも連続でない関数」にしようか「全ての点で連続でない関数」にしようか悩みますが、「全ての点で連続でない関数」なんて実用的にお目にかかることはないし「一点で連続でない関数」なんて定義域をちょいと変えれば簡単に「連続関数」になってわざわざ定義する意義も無い。
そういうわけで「不連続関数」なんて統一的に定義する意味が無いわけです。
「連続」はかならず「連続関数」として使いますから「不連続」も「不連続関数」の定義が無いと意味が無い。
どういう条件か毎度指定して「そこで連続でない」と言うしかないですね。

上の関数が「x=0で繋がらない?」と聞かれたら「繋がる」と答えます。
x=0で連続じゃないけど「連結」ですから。
「繋がる・繋がらない」は連結がどうかの意味としか思えません。
「連続」は「微小変化→微小変化」の意味ですが、変化が無限に速くて連続じゃなくても繋がってれば連結です。
ε-δ で言えば x=0 の任意に小さい ε 近傍に f(x), x≠0 があります。(これが連結)
別の表現だと「 x=0 は f(x), x≠0 の閉包に含まれる」
あるいは「2つの閉集合に分割できない」(これが一番普通な連結の定義)

不連続の定義?

記事にもあるように、私自信「不連続」の定義を調べてみたんですが、そういったものは見つける事ができませんでした。「連続性を持たない」というはまさにNot[連続]なわけですが、それでは「不連続」というのはどういう風に定義されているのでしょうか? 

記事を書いた当時の私の結論は、数学において「不連続」という言葉を定義する必要はなさそうだ。 つまり「連続性を持たないもの」を「不連続」と呼べばよいという結論になったわけです。 「連続性を持たない」と「不連続」はもともと違う概念なわけですが、次のような場合が成立しないのであれば、「不連続性」という言葉はNot[連続]と同値だと思いました。

①「連続性を持たない」が「不連続」ではない
②「不連続」だが「連続性を持たない」ではない

さらに②はNot[連続]の否定なのでNot[Not[連続]]=連続 を取って

(②の別な表現) 「不連続」だが「連続」

①と②のどちらかの場合でも成立すれば、私としては不連続という言葉をNot[連続]とは別に定義する意義があるかと思うのですが、そうでない場合は「Not[連続]をもって不連続と呼ぶ」で良いと思うわけです。

この記事、私自身はだいぶ気になっているのですが、こういった話題に興味を持つ人はあまりいないようです。 突っ込んでくれる人がいると嬉しいのです。occurさんのコメントお待ちしています。

不連続性 = Not[ 連続性 ]
ではなく、
連続性を持たない=Not[ 連続性 ]

つまり、
連続性を持たない≠不連続性
であると思います。

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