2017-04

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≪ 二準位系 その4 ALL 海・砂浜問題 ≫

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論理的思考を試される。三平方の定理の場合

青き惑う師さんのブログで三平方の定理の証明を会社の採用試験につかっているという話があった。確かに面白い。これほど単純で、それでいて証明も単純な式はあまりない。証明方法にはいくつかあるだろうし、今も新たな証明方法が生まれているかもしれない。 物理的な思考では、(cが斜辺ですが図は描きません)

(1) a,b が決まれば三角形は決まる、つまり c=f(a,b) cはa,bの関数になるわけだ。

(2)ここが一番物理的なところだが、このfは実は√a^2+b^2の関数である(√は入れなくても同じ結果が得られる、そのときには長さは正の量であることを要請するだろう)。なぜなら、この組み合わせ以外は回転対称性から許されないのだ。

よって c=f(√a^2+b^2)となる。

(3)次にa,bを x倍するとcもx倍される。長さの基準を変えた時の比例関係だな。 x c= f(x√a^2+b^2) ⇔ f(x√)=x*f(√)つまりfは√a^2+b^2に関して一次関数

f(√a^2+b^2)=定数×√a^2+b^2


(4)最後に定数を決定するために、簡単な状況を考える。 b=0なら a=c が成り立つ事を要請すれば比例定数は1になる。

c=√a^2+b^2


もちろん初等的な証明方法もあるだろうが、私は今一つしか思い出せない。
それは良く知られた方法なので、書かない。それに作図が必要だから、ブログで記事にするにはちょっと面倒だ。
ここでの証明、なんか分かりにくい事をやっているようだが、確かに分かり難いかもしれない。しかし、この証明をみればいくつかの拡張された幾何学の可能性がみえるだろう。簡単に思いつくのは、回転対称性をユークリッドからミンコフスキーに拡張するとか。他にもあるかもしれない。

ここで示した証明は物理学に現れるスケールとはなにか?という事をよくよく考えると出てくる考え方で、良く使われる方法だ。

他にもなにか思考過程を問うような問題があったら、是非上のブログに行ってコメントしてください。楽しいブログです。

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