力の法則 １
高校で万有引力やクーロンの法則を習いますが、力の法則って大抵1/r2です。力ではなくポテンシャルの言葉でいえばφ〜1/r となります。その理由は以前クーロンの法則と次元に書いたように我々の住む世界の次元と関係しています。 クーロンの法則をポテンシャルを使って書くと
∇2 φ = - e δ(r)
となります。これをを解けば
φ =- 1/∇2 e δ(r)
= -1/∇2 e (2π)-3 ∫dp exp(i r.p)
= -e (2π)-3 ∫dp 1/∇2 exp(i r.p)
= e (2π)-3 ∫dp 1/p2 exp(i r.p)
=e/r
というクーロンポテンシャルがでてきます。この計算を2次元でやればクーロンポテンシャルはφ(r) = e log(r)となりますし、1次元でやれば φ=e r となります。 つまり「ポテンシャルは何故1/rになるのか」 という疑問は「ラプラス方程式の解だから」というのが一応の答えになります。 ではもう少し突っ込んで「なぜラプラス方程式がでてくるの？」 という疑問は当然あるでしょう。 ええ至極まともな疑問ですよ、しかしこの疑問には、「マックスウェール方程式からでてくるから」と言われてしまいます。
その先は分かりますよね？ これ以上尋ねても誰も答えられないのです。何処まで行っても終わりはないのですが、今のところ是が我々の知識の限界です。
一応これはこれで良いのですが、もう少し違う角度から問い直す事はできます。つまり「ニュートンの万有引力も１/rですけど、これはマックスウェル方程式じゃないですないですよね・・・」と。 答えはアインシュタインの生み出した重力の方程式はマックスウェル方程式と似ていて、これからもラプラス方程式がでてくるのですというオチです。 そうすると全てはラプラス方程式になるのか！？ それとも偶然！？ となりますよね。 いえいえ（多分）偶然ではないのですよ。 つづく
∇2 φ = - e δ(r)
となります。これをを解けば
φ =- 1/∇2 e δ(r)
= -1/∇2 e (2π)-3 ∫dp exp(i r.p)
= -e (2π)-3 ∫dp 1/∇2 exp(i r.p)
= e (2π)-3 ∫dp 1/p2 exp(i r.p)
=e/r
というクーロンポテンシャルがでてきます。この計算を2次元でやればクーロンポテンシャルはφ(r) = e log(r)となりますし、1次元でやれば φ=e r となります。 つまり「ポテンシャルは何故1/rになるのか」 という疑問は「ラプラス方程式の解だから」というのが一応の答えになります。 ではもう少し突っ込んで「なぜラプラス方程式がでてくるの？」 という疑問は当然あるでしょう。 ええ至極まともな疑問ですよ、しかしこの疑問には、「マックスウェール方程式からでてくるから」と言われてしまいます。
その先は分かりますよね？ これ以上尋ねても誰も答えられないのです。何処まで行っても終わりはないのですが、今のところ是が我々の知識の限界です。
一応これはこれで良いのですが、もう少し違う角度から問い直す事はできます。つまり「ニュートンの万有引力も１/rですけど、これはマックスウェル方程式じゃないですないですよね・・・」と。 答えはアインシュタインの生み出した重力の方程式はマックスウェル方程式と似ていて、これからもラプラス方程式がでてくるのですというオチです。 そうすると全てはラプラス方程式になるのか！？ それとも偶然！？ となりますよね。 いえいえ（多分）偶然ではないのですよ。 つづく
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