アトムの物理ノート

「一次元量子力学　δ関数ポテンシャル１」でこの問題に対する教科書的な解法を説明したが、今回はもう少し原理的なところに踏み込んでみたい。　そこで、「δ関数ポテンシャルが滑らかな関数の極限と実現しているなら波動関数に跳びがあるとは考え辛い」という事を述べたが、この事を真剣に調べてみようというわけだ。
まず物理的なイメージとして、デルタ関数はあるポテンシャルの近似式として導かれるものとする。
そして近似する前のポテンシャルはどこでも滑らかな連続関数であるとする。　このポテンシャル関数をV_ε(x)　としよう。近似式をとることはεをゼロの極限に持っていく事に対応する。
計算が長くなるのでそのようなポテンシャルとして私が見つけたのは

V_ε(x) = 　2 cε³/[π(x²+ε²)]²+ c² A_ε(x)


である。 cは任意定数だが、c　<　0　の場合にのみ束縛状態が存在する。　ここで二項目のA_ε(x)はεが小さい極限でゼロになる関数で補足に表式を書いておいた。 この問題のシュレディンガー方程式は

[ -d²/dx²+ V_ε(x) ] φ(x) = e φ(x)

となる。　束縛状態の波動関数に対する答えは以下のようになる。

φ(x) = exp(-k x (2/π) arctan(x/ε))
e = -k²
k=c/2 ( c < 0 )

となる。ε→０の極限でこのポテンシャルがデルタ関数になることも簡単に証明できる。
答えの波動関数はεをゼロにとらない限り滑らかで跳びなどどこにもない。　下にポテンシャルの図を描いた。　破線ε＝０．０１の場合の　c=-1とｃ＝−１０の場合のポテンシャルである。εをもっと小さくとるとデルタ関数に近づいてゆくのが分かる。



波動関数（黒）とその一回微分（赤）、二回微分（青）をε＝０．０１で描いた。通常のデルタ関数ポテンシャルでやるように、波動関数は連続、一回微分はｘ＝０でトビがあって、二回微分以降は発散するかのように見えるが、実はそうではない。波動関数はεを有限にしておく限り滑らかな関数である。



実際この図を更にズームアップして見たのが以下の図である。黒の波動関数は更にズームアップすれば、折れているように見える箇所は滑らかに繋がっていることが分かる。赤い線の一回微分は急激にカーブしているが、滑らかである。青い二階微分も更にズームアップすれば勿論滑らかになる。



そしてεを更に小さくしてゆけば勿論答えは通常のデルタ関数ポテンシャルの答えと一致する。つまりε＝ゼロの極限では波動関数の一回微分にはトビが出るのである。　しかしεをゼロにする操作を取らなければ、全ては有限であり、量子力学の波動関数やその微分は滑らかな関数のままである。

そこで、量子力学で扱う特異なポテンシャルはもともと正則な関数の近似で生じた物ではないかという事が予想される。　もしもそうであるなら波動関数やその微分は全て連続であろうという事になる。
しかし、勿論どちらも同じ結果を出すという意味ではこれはある意味解釈論と片付けることもできるだろう。　しかし、正則なものを扱う方が特異なポテンシャルを扱うより心の負担は少ないし、そういった理解があればこういった問題を解くことに多少なりとも意義を感じることができるのではないだろうか。

ちなみに波動関数の２回微分はデルタ関数ポテンシャルでは発散するが、この方法では

φ''(0) 〜1/ε　

で有限である。　εが相当に小さければそれは相当に大きな数であり、デルタ関数のポテンシャルで解いた答えはこの大きな値を暗示していると解釈できる。

(補足）
A_ε(x) =-(ε⁴/π²)/[x²+ε²]² + (ε²/π²)/[x²+ε²] -π² [ (π/2)²-arctan(x/ε)²]
+(2εx arctan(x/ε)/π²)/[x²+ε²]