2017-06

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≪ Solid State Physics (Ashcroft , Mermin (著) ) ALL 量子力学における運動量 2 ≫

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量子力学における運動量 1

「ψp(t,x)=exp(-i Et + i px) は時間に依存した(運動量がpの)平面波であるが、その移動速度はexp の位相 (Et-px) から vp=E/pとなる(vpは位相速度 phase velocity)。 この値はvp=p/(2m)=v/2 (但しp=mvとした)となり、運動量と関係付いた速度vとは1/2だけずれているが何故か?」





最初に受けた量子力学の講義、または最初に読んだ量子力学のテキストを想いおこして欲しい。

「運動量は p=-i d/dx と《定義する》」 というのがテキストの第一章あたりに書かれていることである。 大抵の人はここで量子力学は難しいという感想を持つ。 「運動量が微分? それも虚数まで掛かっている!?」。 全くわけの分からない理論だと最初は誰しもが拒絶反応をしめす。 しかし勉強が進むとこれは運動量ではなく《運動量演算子》であり、我々が実験で測る量はその固有値であって微分や虚数などは関係しないことが分かり一安心する。

そして運動量演算子から導かれる運動量の固有値状態、つまり粒子が運動量の決まった値(それをpとしよう)を持つ状態は

up(x)= exp(i px)

であることも分かってくる。 この運動量の固有値状態の時間発展はexp(-i Et)を掛けると得られる。

ψp(t,x)=exp(-i Et + i px)    (E=p2/2m)


何故なら、この波動関数はシュレディンガー方程式を満たすのでこれが時間に依存する波動関数であるというわけである。(シュレディンガー方程式: id/dt ψp = (1/2m) (-ihd/dx)2 ψp
この時間に依存した運動量の固有値状態が最初に揚げた平面波である。通常の感覚では運動量はp=mvだからこの平面波は速度vを持って運動している解釈したい。ところがこれが平面波の持つ位相速度vp=E/pとずれているのが気持ちが悪い。 困った事に平面波に定義される速度は位相速度しかないようである。 直ぐに思いつく幾つかの可能性として

(A)そもそも平面波ψp(t,x)が運動量pを持っているという解釈がおかしい。
(pを運動量と解釈する量子力学の基本を疑う立場)

(B)平面波は存在しない。例えば運動量の固有関数は規格化できないから意味がないだろう。
(運動量固有関数の物理的実在を疑う立場)

(C)位相速度の解釈のほうがおかしい。 
(位相速度の解釈を疑う立場)

(D)その他。

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