2017-03

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≪ 量子力学における運動量 1 ALL 数学ガール ≫

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量子力学における運動量 2

いくつかの可能性をリストアップしたが、先ず(B)の主張から迫る。つまり

(B)平面波は存在しない。例えば運動量の固有関数は規格化できないから意味がないだろう。
(運動量固有関数の物理的実在を疑う立場)

(A)や(C)の漠然とした主張を最初に取り上げると深みにはまる可能性があるので後回しというわけだ。 平面波、つまり運動量の純粋な固有状態は様々な問題があることが知られおり、そういった問題を回避する方法として重ね合わせ状態を考えれば良いというものがある。 重ね合わせを考えるとどこが変更を受けるのかを簡単に示すために、運動量の微妙に異なる二つの平面を考えてみよう。

up(x)=exp(-i E(p) t+i px)

up+Δp(x)=exp(-i E(p+Δp) t+i (p+Δp) x)

エネルギーは運動量の関数であるからE(p)とE(p+Δp)となっている。 Δpは微小ずれを表す。 二番目の平面波の位相の部分だけを取り出して整理すると

-i E(p+Δp) t+i (p+Δp) x  ≒  -i E(p)t + i p x -i Δp [ E’(p) t - x]

となる。 エネルギーは運動量pの周りでテイラー展開し微少量の一次までとった(E'は運動量に関する一回微分)。 この式を使えば二つの平面波の重ね合わせに関して次のように変形できる


up(x) + up+Δp(x) = exp(-i E(p) t+i px) [ 1 + exp(-i Δp [ E’(p)t - x] ) ]

重ね合わせをした波動関数の二乗をとると、それは電子の位置xにおける確立密度を与える。三角関数の公式などを使って整理してやると次のような見やすい形になる。

| up(x) + up+Δp(x) |2 = (2 cos[ Δp/2 ( E’(p)t - x ) ] )2

この(二乗された)波の群速度を計算するのだがエネルギーの一回微分の具体形が必要である。ここでは相対論的な式と非相対論的なものを使って調べてみる。

(1)相対論的な場合 E(p)=√[m2c4+(pc)2]

また p=mv/√(1-v2) , E=m c2/√(1-v2) である事を使えば E’(p)=pc2/E(p)= v となる。

(2)非相対論的な場合あ E=p2/2mなので

E'(p)=p/m= v

となり、これもやはり 速度 v となる。 まとめると

=========================================================================
相対論、非相対論、どちらの場合も二つの波の重ね合わせは同じ形なり

| up(x) + up+Δp(x) |2 = (2 cos[ Δp/2 ( v t - x ) ] )2

である(高次項は無視している)。
=========================================================================

これは時間が経つと平面波の重ね合わせ(の二乗)が速度vで移動する事を意味していると解釈できる。 よって運動量pと微妙にずれた運動量p+Δpの二つの波を重ね合わせると移動速度がvの波が得られる。 重ね合わせた波は粒子が持つ運動量p=mv (相対論的な場合にはp=mv/√(1-v2)) と速度の関係を矛盾なく満足しているようである。

残った不満は、二つの波の重ね合わせただけではまだ規格化する事ができないという事。 つまり量子力学の確立解釈との関係が明白ではないという事である。 この問題を解決するには、もっと多くの波を重ね合わせる必要があるのだが、それは次回。


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