2017-03

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≪ 量子力学における運動量3 ALL 量子力学における運動量 4 (これまでの主張を整理) ≫

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補間法 1

補間とは、与えられた有限個のサンプリング・ポイントを基にしてもともとの関数を推定する作業である。この作業には与えられた点aとbの間での関数値 f(x) ; x=(a,b) を推定する内挿と、与えられた点から外にはみ出した領域 x < a またはx>b での関数値を求める外挿があるが、日本語での《補間》はおそらく前者に限った用語であろう。 

その昔補間と聞いてデーター解析などを専門にしない限りお目に掛かることはないだろうと思っていたが必ずしもそうではない。 そもそも補間法は、データーが存在しない点xでの関数値f(x)を推定するために使うものであるが、それ以外にも使い道はいろいろある。例えば大量のデーターをそのまま扱うよりもサンプリング・ポイントを減らし、代わりに補間法を用いた方がずっと解析が速いということがある。 またガウス積分法などの数値積分では効率良く値を求めるために補間法が用いられる。 これらの目的にはわざわざ自分でプログラミングする必要はなく既存の物を使えばすむ事であるが、すべてをブラック・ボックスとして受け入れるのも多少気が引ける。 かといって専門的に勉強するのはこれまた大変なことである。 そういった場合に「詳細に立ち入ることなく平易な解説があれば良いなあ」と思うこともしばしば。 そこで今回は、私が調べたラグランジェの多項式補間の方法をここに解説したい。これはガウス積分での応用まで含めて3,4回の記事になる予定である。


工学的なイメージの強い《補間法》に大数学者ラグランジェの名前がついているのは多少驚きであるが、一昔前にはこういった分野も数学における最先端の研究であったのだろう。 後ほど触れるガウス積分はラグランジェの補間法を使えばエレガントに導出できるのでそのことについても触れる予定である。 ラグランジェとガウスに関してLとG 数学者群像 (ちょっといい話)に興味深い記事がある。 それ以外にも「ちょっといい話」のページ楽しく読める記事がいろいろあるので是非訪問してください。

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