2017-08

目次

≪ 何故ハミルトニアンはエルミートか ALL 保存則 ≫

スポンサーサイト

上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。

補間法 4

前回ラグランジェのデルタ関数を導入した。その定義は

ΔA(x - xi) = Πj≠i (x - xj)/(xi-xj)

である。 jについて積をとるが、j=i は除く。 いちいちxiA の要素だと明示する必要もないだろうから、これをΔ(x-xi)と書く。 この定義から次の事が導かれる。

(1) ラグランジェのΔ関数はxに関する多項式である。 

(2)ラグランジェのデルタ関数は次の性質を満たす。
Δ(xi - xi)=1 
Δ(xk - xi)=0 (k≠i) 
(2)の性質はラグランジェのデルタ関数が集合A={ x1,x2,x3,・・・・・, xn} 上におけるクロネッカ-のデルタと見なせるということである。 つまりこれは恒等演算子、または単位行列とみなせる。 よってこの性質を使えば集合A上に値を持つ関数はラグランジェのデルタで分解できることになる。

多少具体的にやってみる。 関数fがA上に値を持つというのは

{ f( x1) , f(x2) ,f( x3),・・・・・, f(xn)}

という値が定義されているという意味で、このfを次のように分解できる

f(x)=Σi Δ( x-xi ) f(xi)

実際xとして集合Aの要素を代入してみると左辺と右辺が等しいことがわかる。
それはラグランジェのデルタの性質(2)から明らかだろう。 一方xとして集合A以外の値をいれるとどうなるだろうか? 結果からいうとこれは関数f(x)の多項式補間になる。 つまり集合Aはfのサンプリング・ポイントで、その他の点では上の公式によって多項式補間が得られているということになる。 


少し精密に書くと、左辺のf(x)はサンプリング・ポイントAの値から推定されたもので、その値はサンプリング・ポイント以外では本のf(x)と一致するという保証はない。よって左辺のf(x)をfA(x) と表記しておこう。 ばかばかしい程単純な例としてA={a, b} という2点を取ろう。 すると

fA(x) 
= Δ(x-a) f(a)+Δ(x-b) f(b)
= (x-b)/(a-b) f(a) + (x-a)/(b-a) f(b)
= f(a) + (x-a) [ f(b)-f(a)]/(b-a)

二点 (a , f(a)) と (b, f(b)) を直線 でつないだグラフを考えてもらえればその意味は明らかだろう。 サンプリングポイントを増やせば多項式の次数が高くなるので補間の精度があがと予想される。実際適当なデーターを持ってきてこの式で補間を試してみると面白い。


一応これくらいでラグランジェのデルタ関数をつかった補間式の説明は良いだろう。 それは与えられたサンプリング・ポイントでは元の関数値を返してくれるし、それ以外の点ではΔ(x-xi)の性質から適当な値を返してくれる。 適当な値というのはラグランジェのデルタの多項式性から二点を結ぶ多項式曲線から推定されたものという事になる。 次回具体的な関数の補間を試して、ラグランジェ補間の持つ問題点を述べてこのシリーズは終わりとしよう。

コメント

コメントの投稿

管理者にだけ表示を許可する

トラックバック

http://letsphysics.blog17.fc2.com/tb.php/397-3d22a055

«  | HOME |  »

CATEGORIES

RECENT ENTRIES

RECENT COMMENTS

RECENT TRACKBACKS

APPENDIX

アトム 

アトム 

趣味   近所散策と物理

上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。