2017-08

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≪ 父 ALL 補間法 4 ≫

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何故ハミルトニアンはエルミートか

掲示板などで対話をしているとタイトルのような質問をたまに受ける。

確かに《ハミルトニアンはエルミートである》必要はないかもしれない。 というのもハミルトニアンのエルミート性は、エネルギー固有値が実数になるための十分条件ではあるが、必要条件ではない。 という事は、ハミルトニアンがエルミートでなくそれでいてエネルギー固有値が実数になるような例はあるのだろうか。 ちょっと直ぐには思いつかないがきっとあるに違いない。(簡単に作れそうな気がするんだなあ。でも時間もないしあまり興味もないから手が動かない) という事で今のところ私の答えは、エルミートだと面倒な事しなくてもエネルギー固有値が実数になるから良いじゃないくらいの理解である。

雑談ついでに、そもそもエネルギーが実数でないといけない理由は有るのだろうか?
これに対する答え(の一つ)として有名なのはガモフのアフファー崩壊理論にみるような複素数のエネルギー固有値をもつ系だろうか。 エネルギー固有値が虚数でも特に問題ないのだ。 それどころか、エネルギーが虚数になると粒子の崩壊が扱えるというメリットがある。つまりエネルギーの実数部が通常のエネルギーに対応しており、虚数部は粒子の寿命を与えるのである。 

「そんな適当な事をいって量子力学の《原理》を変更するなんて邪道だ!」

という声が聞こえてきそうだが、有益な拡張は柔軟に受け入れていこうという姿勢が大事である。 とはいっても、こういう自由な発想ができるのはやはりガモフが天才だからであろう。 既存の理論のどこが本質で、どこに変更の余地があるのかという事が分かっていたのである。 そもそも自然界には崩壊する物質が多くあるのだか、量子力学はそういった現象も柔軟に扱えるだけの懐の深さを持っていたともいえるのだろうか。 

こんな事を考えていたら、運動量が虚数という話は聞いた事がない。 エネルギーが虚数でありえるなら運動量にもその権限は残されているであろう。 すると解釈はどうなる? エネルギーの虚数部が粒子の寿命に対応したように、運動量の虚数部は粒子の空間的な広がりに対応するのだろうか?
これは波動関数が広がるということではなく、粒子自身がのっぺりと広がった構造を持つ事に対応するような気がする。 いやいや、ちょっとイメージがわかない・・・・・・・ しかし面白そうだ。 

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