2017-08

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補間法 5

補完法の最終回。 ラグランジェのデルタ関数を使った補間法を実際に試してみよう。 

適当な関数を持ってきて前回示した補間公式に代入すれば良いわけだが、それを行う前にラグランジェのデルタ関数そのものを図示してみる。 補間区間を 1≦x≦10とするとラグランジェのデルタはi=1~10の値を持つ十種類のデルタが作られる。

Δ(x-i) i=1,2,3,...........,10

これをi=1,2,3の場合に図示してみたのが1図である。 図からデルタはx=iにピークを持ち、その他の
点x≠iでが振動のゼロ点になっている事が分かる。 この事はラグランジェのΔの定義式からも分かる事であるが、図示してみると更に理解が深まる(かも知れない)と思って描いてみた。


1図:赤、緑、青とi=1,2,3の場合のデルタを図示。


さてそれでは適当な関数として

f(x) = sin(x)/(1+x)


を選んで補間領域1≦x≦10で補間してみたのが下の2図である。

laghokan2.gif
2図:黒い線が元の関数で、赤い線がサンプリング点としてx=1,2,3,・・・,10 とΔx=1を取った、また青い線はサンプリング点がΔx=2で5点から補間を行ったもの。

当然だがサンプリング点を細かくとれば補間の具合がよくなることが分かる。 次に

f(x) = sin(2x)/(1+x)

として振動数が2倍の関数を補間してみたのが3図である。

laghokan3.gif
3図: 振動数が二倍の関数を補間した場合。 サンプリング点は上の図と同じ。


とまあ、サンプリングポイントを増やしていけば元の関数をうまく補間できると予想される。 が実は問題があって、それは3図からも分かるが、補間領域の端っこでの振る舞いがあまり宜しくないという事である。この事情はサンプリングポイントを増やしてもあまり改善されない。 またサンプリングポイントを増やすと細かな振動が増えてしまうのが好ましくない。この事情を改善するためには別な工夫が必要になるがここではこれ以上の説明は止めておく。 何故なら私の目指すところであった補完法の簡単な解説は達成されたと期待するし、あまり専門的なことは私の知識が及ばないからだ。

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