2017-10

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≪ パリティー 3 ALL ダムの水位と流量 ≫

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どうなる? ゴキブリ

[制限時間20分] 
久しぶりに面白い問題をみつけたので頭の体操として掲載します。先日友人から出題されたもので、私自身 「ほう、ほう」と唸ってしまったのでした。 なかなか面白問題です。

問題: 今ゴキブリA,B,C,Dの4匹が一辺の長さが1mの正方形の部屋の四隅にいます(図を参照)。時刻t=0でそれぞれが速さv [m/s] で動き始めます。 Aのゴキブリは目線で常にBのゴキブリを追って動きます。BのゴキブリはDのゴキブリ、DはCを、そしてCはAのゴキブリをというように、それぞれが相手のゴキブリを目線で追い、そして自分もまた一匹のゴキブリから目線で追っかけられていきます。 ゴキブリの動く早さは常に一定で、目線で追ってゆく相手の位置に寄って方角だけが変わるものとします。

さてゴキブリたち最終的に相手を捕まえる事ができるでしょうか?捕まえられるとしたらその時刻は?


コメント

Vladimirさんへ

-dr = rdθ という式がどうやって得られたのか分かりませんが、多分これがおかしいのではないかと思います。 


ヒントに掲載した動画は全て微分方程式を解いて作ったものなので、その運動は正しいものです。よって動画を見てもらえれば納得いくと思いますが、Vladimirさんの求めた微分方程式とは運動が異なるであろうことが理解されると思います。 勿論答えは微分方程式など解かずに幾何学的に求まるのですが。その幾何学的な方法は動画を参考にして速度の分解をすれば得られます。

前回 OA の長さは (1/√2)e^-θ と書いたのは,A は常に線分 OA から π/2 だけ反時計回りに回転した方向に動くために,微分方程式
-dr = rdθ
が得られ,これを初期条件のもとに解いて出たものです(A の座標を (r,θ) とする)。
私がパラドックスに陥っているのは,「ゴキブリは出会うまでに何回転するのか」ということを考えると,無限回回転する必要があることになるということなのです。r が縮む速度を考えると有限時間内に出会うはずなのですが。ゴキブリの軌跡はフラクタル図形ですね。

さて,これは微分方程式を立てる段階で,あるいは題意の段階で r ≠ 0 の条件を使っているからなのでしょうか。

あーーー
なるほど。
アキレスと亀だとは思いつつ、その考え方に縛られてました(汗

答えからいうと

3人の方からコメントをもらいましたので答えだけでも書いておくと、4匹は中心で出会うことができます。

Gさんへのコメントとしては、有限のプロセスを無限に分割することは数学的に可能でありますが、それが∞の時間を要するプロセスである事とは別物です。アキレスと亀の例えを思い出してもらえれば納得いくと思います。

皆さん、期待どうりに、部屋の形が四角形だと言う事に惑わされています。問題の中に円を見出してください。 速度は中心方向と円周方向に分解されると気がつけば半分解けています。

はじめまして。
勉強の合間にたまたま通りかかったサイトですが、問題を見たので、すこし考えてみました。

4匹が対称な動きをするので、4点で常に正方形を作っており、
ある時間からΔt経ったときの正方形の比は決まっており、
これはt→∞でないと正方形の面積は0にならないので、
この場合、4匹は決してぶつからない。

という結論になりました。

コメント有難うございます

珍しく二人の方からコメントがもらえました。非常に嬉しいです。俄僅さんは以前も色々と感想など書いてくれましたね。 マニアックなブログですが、それでもリピーターがいるというのは特別に嬉しいです。

俄僅さんは答えは知っているそうですが、その導出方法はまだ知らないようですね。
一応頭脳体操なので、あまり難しい数式を持ち出す必要はなく、ちょっとしたアイディアで簡単に解けます。 
Vladimirさんは解答には達しているようですがパラドックスに陥っているようですね。
私は答えを覚えてませんので、暫く考えて再度コメントさせてもらいたいと思います。

初めてコメントさせていただきます。
任意の時刻において A, B, C, D を交換しても同じ状態になるはずであるから,ABCD は正方形でありその中心は静止していることになる。その点を O とすると,例えば A は常に線分 OA から π/2 だけ反時計回りに回転した方向に動くことになる。従って OA は (1/√2)v [m/s] の速さで縮むことになり,その初期値が 1/√2 [m] であるから,1/v [s] 後に OA の長さが 0,すなわち全ゴキブリが一箇所に集まることになる。
ここまではいいのですが,OA の最初の状態からの回転角を θ とすると,OA の長さは (1/√2)e^-θ となり,どれだけ回転しても OA の長さは 0 にならないことになります。まるでゼノンのパラドックスを見ているようで,不思議です。どう考えればよいのでしょうね。

これの答えだけなら知っているのですけども、どんな数式の曲線を描くのだろうか……そして到達するまでにゴキ達は部屋の中心に対して何回回転するのだろうか……軌跡の長さは速さ×時間で本当にいいのだろうか……とか考え出すとわけがわからなくなります(^^;)

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