2017-11

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数 - 自然数 3

今日は自然数の定義をもう少し整備したの後に足し算を定義します。目標は

足算則) 4+5=9 

交換則) 4+5=5+4 

結合則) (2+2)+5=2+(2+5) 

の三つの証明です。最初の式は足算則と勝手につけましたが要は足算のルールと自然数の関係です。交換則や結合則は小学校で習います。まあ、当然かなと思えるものです。 先ず前回までにやった自然数の作り方をもう少し整備しておきましょう。

(i) 0≡φ={}   (ゼロの定義)
(ii) a+≡a∪{a}   (aから新しい自然数を作る "肩プラス゛の定義)

ここで導入したa+という記号はaの肩にプラスが書いてあり、aから新しい自然数を作る操作です。そうやって作った自然数に名前をつけておきます

0≡φ={ }
1≡0+={ 0 }
2≡1+={ 0, 1 }
3≡2+={ 0, 1, 2 }
4≡3+={ 0, 1, 2, 3 }
.........................

[n+1]≡n+={ 0, 1, 2, 3,・・・・, n }

以下で足算を定義するので、最後に書いた[n+1]の+はここでは使いたくないのですが、仕方がありません。誤解を避けるために[ ]で括りましたが、その心はn+1で一つの記号だと見なして下さいという意味です。

次に足算を定義しますが、エレガントな証明を考えているともう一つ記号を導入したほうが良いだろうと思いました。それは肩マイナスです。

(iii) (a+)-≡ a   (肩プラスの逆)

自然数の一意性(証明必要かな!?)から (a-)+=a が導かれます。 つまり肩プラスと肩マイナスの順番は可換です(補足)。


さて、それでは足算の定義をします。 

(Pi) P(a, 0) ≡ a
(Pii) P(a, b) ≡ P(a, b-)+

このP関数はaを変換する写像です。 ただし写像は自然数bに依存しています。 これがa+bと解釈できる理由はゆっくりと説明していきます。 先ず具体的にやってみましょう。

(例1) P(2,1)=P(2,1-)+=P(2,0)+=2+=3

一回目の等号はP関数の定義(Pii)を使いました。二回目の等号は肩マイナスの定義です。そして三回目の等号は(Pi)、最後は肩プラスの2を自然数の3と名づけたから、これは自然数3の定義です。同じようにやっていけば

(例2) P(2,2)=P(2,2-)+=P(2,1)+=3+=4

です。三番目の等号は例1の結果を使いました、そして最後の等号は自然数4の定義です。P関数が通常我々が用いる足算であることはその定義をじっくり眺めれば見えてきます。それでは足算の性質を導出してゆきます。

(pi) P(0, a)= a
帰納法でいきます。先ずP(0,0)=0はP関数の定義から成立しています。
そこで (t1) P(0,a-)=a-を仮定します:
P(0,a)
= P(0,a-)+    (Pii)
= (a-)+      (t1)
= a         (iii)
使った定義と仮定を記述しておきました。帰納法からこれで証明完了です。

(pii) P(a,b-)=P(a,b)-
P関数の定義 P(a,b)=P(a,b-)+ において両辺で肩マイナスを取れば証明終わりです。さらにb=c+とおけばP(a,c)=P(a,c+)-も導けます。よってP関数は2番目の引数で肩プラスや肩マイナスを外に出す関数だということになります。
よって定義(Pii)に対して、一方から他方が導かれるという意味で同値な定義 (Pii’)を付け加えておきます。

(Pii’) P(a,b)=P(a,b+)-

但し(Pii)の方が私たちの帰納的定義にマッチしているので、(Pii’)をP関数の定義として採用することはありません。なぜなら(Pii)は、∀a,bに対して P(a,b)をP(a,0)に帰着させるので最後は(Pi)に行き着くわけです。(Pii’)はその逆に 、∀a,bに対して P(a,b)をP(a,∞)に帰着させる(帰着しないという事です)ので帰納的な定義としては欠陥があります(ここでの∞の意味は誤解を招かないと思いますが、特に深い意味はありません)。

(piii) P(a+,0)=P(a,0)+
交換則を導くための式です。証明は簡単で
P(a+,0)
= a+        (Pi)
= P(a,0)+     (Pii)
となります。

(piv) P(a+,b)=P(a,b)+
これも帰納法でいきます。b=0の場合は(piii)で証明されています。
(tii) P(a+,b-)=P(a,b-)+ を仮定します。
P(a+,b)
=P(a+,b-)+    (Pii)
=P(a, b-)++    (tii)
=P(a,b)+      (Pii)
この式も全体の肩マイナスをとりaをa-で置き換えるとP(a-,b)=P(a,b)-と書けます。

(pi)-(piv)をまとめるとP関数の定義は1番目と二番目の変数に関して同じ性質をもつということです。これが交換則が成立する起源です。証明されたので(pi)-(piv)を整理して公式として番号付けしておきましょう。
===================================================
(P公式0)  P(a,0)=P(0,a)=a
(P公式i)   P(a,b±)=P(a,b)±
(P公式ii)   P(a±,b)=P(b,a)±
====================================================
ここまでが準備ですが、これだけあれば後は簡単です。だって上のP公式をみれば足し算の交換補足が明らかです。

(piv:交換則) P(a,b)=P(b,a)
帰納法です。P(a,0)=P(0,a)は(pi)で証明されています。
(tiii) P(a,b-)=P(b-,a)を仮定します。
P(a,b)   
=P(a,b-)+      (Pii)
=P(b-,a)+       (tiii)
=P(b,a)        (piii)
証明終わり。


(pv:結合則)P(a,P(b,c))=P(P(a,b),c)
b=0からスタートする帰納法によります。b=0はいいでしょう。
(tiv) P(a,P(b-,c))=P(P(a,b-),c) を仮定します。
P(a,P(b,c))
=P(a,P(b-,c)+)     (Pii)
=P(a,P(b-,c))+     (Pii)
=P(P(a,b-),c)+     (tiv)
=P(P(a,b),c)       (piii)
これで証明終わりです。

というわけで長くなりましたが足算の満たすべき性質が全て証明されました。

(補足) 証明をエレガントに書くために肩マイナスを導入しましたが、実は0-が定義されていないのでここで帰納法に基づく証明にはちょっとした手を加えなければなりません。 一つの方法として上での帰納法の証明で、0-が現れたところだけ、帰納法の出発点を一つ繰り上げて1から始めるというものがあります。同じ事ですが、0-を新たな定義をとして受け入れる事も可能です。どちらにせよ、証明の本質には影響がないのでここではこれ以上の追求を止めておきます。どちらにせよ後々負の数を定義しなくてはなりませんから、それまで保留といきましょう。

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