2017-04

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≪ K先生 ALL 「重力ピエロ」 読書中の感想 ≫

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一様収束

ある列が収束する場合、「一応収束する」という事と「一様収束する」は時として天と地程の差がある。
数学を応用に使う工学系では、この点をあまり注意する事がない、というか注意しなければならないような例を扱う事があまりない。 それで一様収束の概念を忘れているとそんなときに限って何かおかしな問題にぶち当たる。そして調べてゆくうちに「一様収束しない!」と叫んで解決という事もしばしば。やはり基本的な事は確り押さえておく必要がある(補足)。

さて冗談交じりの《一応収束》であるが、「一様収束」と「各点収束」の二つのタイプがある。 それでこういったことを一々気にする理由は(少なくとも工学系の人にとって重要な側面は)「一様収束列は連続関数となる」が存在するからである。逆を言うと各点収束しかしない列は連続関数にならないから、応用がてら病的な答えを出したりする。

証明なしに定理を書いておくと:
-----------------------------------------------------------
関数列fn(x)がx∈Xに於いてf(x)に一様収束するとは

limn→∞ supx∈X | fn(x) - f(x) |=0

を言う。そしてその場合f(x∈X)は連続関数である。
-----------------------------------------------------------

一様収束しない関数列の具体例を揚げると、fn(x) = xn, x∈[0,1]は (1n=1 for ∀n)だから、関数 f(x≠0)=0, f(1)=1 に各点収束する。 連続関数xnの列から生まれたf(x)はx=1で連続ではない。 各点収束しかしない関数列が連続関数とならない直感的な理由はn→∞の操作が各点x毎に異なる操作となるからである。 各点毎に異なる極限を取る事から非連続性が生まれるわけだ。つまり

∃N for ∀ε s.t. n>N →  | xn-f(x)|<ε

であるが、今N=N(x)である。 例えば

N(x≠1)=2*log(ε)/log(x),
N(1)=1

と取れば良い。このN(x)によって連続関数列の極限としてのf(x)が定義されるのだが, N(x≠1)=2log(ε)/log(x)はxが1に近づく程にn→∞の操作を厳しく取る事を要請する。
ところがN(1)=1なので、n→∞の操作の後にx=1に埋めがたいギャップ生み出す。


(補足)基本的といえば数列の和に関する収束性には絶対収束と条件収束の違いも大事である。

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