2017-06

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≪ 「重力ピエロ」 読書中の感想 ALL フーリエ級数1 ≫

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どうなるゴキブリのヒント

問題を動画にしてみました。 

goki1.gif


多少イメージは沸くでしょうか。 赤い線が、ゴキブリの速度ベクトルです。(つまり速度の方向と、その長さが速さになるように描いてあります。) しかし、この動画のように見るとなかなか答えにたどり着けないのではないかと思います。ヒントは「この運動の中に円を描く」です。 更にヒントが見たい方のみ続きへどうぞ。



goki2.gif

goki4.gif


以上がヒントの動画です。動画を見終わった方は以下の静止画をノートに描いてみて、じっくり考えてください。 赤い線がゴキブリの速度、つまり追っかけているゴキブリの方向に常に向いています。それを二つの方向へ分解したのが青い線で、一つは円の接線方向、もう一つは円の中心方向へと向いています。

goki0.jpg

コメント

symさんのコメント

はじめまして(ですよね?)。 コメント有難うございます。
回転数が無限回になるのは運動をそのように分割したからじゃないかと、私はおもっています。

例えば

1/2+1/4+1/8+1/16+.....= 1

だと思いますが、1つみかんを、一日目に半分食べて、二日目は残ったみかんの更に半分だけたべて・・・と繰り返してゆけば、みかんを永遠に食べる事が可能です。
永遠の操作で、1っこのみかんを食べることが可能なように、無限回の回転で有限の距離を進む事だって可能なわけです(たぶん)。 だから、矛盾はないかと思いますがどうでしょう。

はじめまして。面白い問題ですね!初めて目にしました!
これって、結局、極座標の原点に穴が開いているので、どこまでも近づくことは出来るが、原点に到達しないことが原因ですよね(^^)?

超作業のパラドックス

>>有限時間内に無限回の回転をしているということは「超作業法のパラドックス」>>になると思います。回転数を数えている人がいれば、その人は有限時間内にす>>べての自然数をカウントしたことになりますから(^^;

ということですが、確かに回転回数を数えている人がいるならパラドックスですね。
でも、いないんでしょう、そんな暇な人は(笑)。 運動というのは非常に不思議なものですね。 それともこの世のかは実は連続ではなく、不連続な空間なのかもしれませんし、今のところこのパラドックスが科学的なところで問題になる事はないのではないかと思っています。 

数学的には非常に面白いし、突っ込んでみたい話題なんですが。

>アトムさま
有限時間内に無限回の回転をしているということは「超作業法のパラドックス」になると思います。回転数を数えている人がいれば、その人は有限時間内にすべての自然数をカウントしたことになりますから(^^;

ありがとうございます。
試みに r = r0exp(-θ) の軌跡の線分の長さを求めると,
∫θ=0→∞√((dr)^2+r^2(dθ)^2)
= ∫θ=0→∞(√2)r0exp(-θ)dθ
= [(√2)r0exp(-θ)]0→∞
= (√2)r0
となって,直感的に予想される値になります。形は無限であるが長さは有限であるというわけですね。
確かに,不思議に思えるけれども,問題はないことになりますね。同意します。
極座標にそういう問題があること,良く分かりました。

ところで,この軌跡はフラクタル図形ではないかと思うのですが,そうなるとそのフラクタル次元はいくらになるのでしょうか。

納得

分かりました。確かにVladimirさんのおっしゃるとおりで、微分方程式はあっています。 微分方程式がおかしいというのは私の勘違いでした。

さて、微分方程式

dr/r=dθ 

を解くとr=r0 exp(-θ) となりますね。 問題点はクリアーになりました。 
私の今の考えを言うと「t→t0でθ(t)→∞となりますが、矛盾はない」と考えています。 t0はゴキブリがぶつかる時刻です。 

というのは極座標はr=0ではあまり性質の良いものではないという事があります。θ=∞が矛盾だと思えるのは、ゴキブリの移動距離が∞になるように思えるからですよね?しかし、r=0とθ=∞の組み合わせでゴキブリの移動距離は∞とはなっていないというのが私の結論です。

視点を変えて、Vladimirさんの提起した問題点を明確にします。 問題を次のように変更したとします。

「・・・(省略)…。 さてゴキブリがぶつかるとしたら、その間ゴキブリは何回部屋を回転するでしょう。」

こういうふうに問題をつくると、ゴキブリは無限回の回転をするという事になります。一見パラドックスにも思えますが、問題をはないと考えます。 それでも不思議に思えることは認めますが。 

Vladimirさんはどう思います?


こちらで説明いたします。
任意のゴキブリを選び,円の中心とゴキブリの間を結ぶ線分を考えます。線分の長さを r,線分の円の中心の周りの回転角を θ とします。図の青の速度成分のうち,円の中心方向の成分は -dr/dt,また円の接線方向の成分は rdθ/dt となります。図よりこの二つの成分の大きさは等しいので -dr/dt = rdθ/dt,すなわち -dr = rdθ となります。これを解いて得られる r = (1/√2)exp(-θ) を作図すると,軌跡はまさに動画のようになります。動画ではゴキブリに大きさがあるのでぶつかっていますが,点と考えると軌跡の上ではぶつかることができないことになります。

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