2017-05

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≪ フーリエ級数1 ALL 日々 これ  ≫

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フーリエ級数 2

離散フーリエ変換の解説ですが、連続的なフーリエ変換の近似として座標変数を離散的にする事で導入される事が多いと思います。 また数学的取り扱いが簡単だということで、離散的な場合を理解してからと連続フーリエ変換へと移行するというケースもあります。 その場合の対応関係は連続極限を考える事で得られます。 



以下一次元の座標を離散化した変数として j =0,1,2,3,4,…, N-1 を考えます。x=j ΔとしてΔが微小な場合を想定すれば連続座標へ移行できますが、これは後々やるとして、今は離散変数の場合に集中します。 離散変数iの関数 f(j) に対して次のような変換を考えます。

F(k) ≡ Σj exp(2Πi k j/N) f(j) (k=0,1,2,…, N-1)

これがf(j)のフーリエ変換と呼ばれる量で、フーリエ変換が分かれば元の関数f(j)を再現する事が可能です。その公式は

f(j) = (1/N) Σk exp(-2Πi k j/N) F(k)

で与えられ、フーリエ逆変換と呼ばれます。 証明は次のようなデルタ関数に関する公式を知っておくと非常に簡単です。

(1/N) Σk exp(-2Πi k (j-l)/N) = δj, l

フーリエ逆変換においてF(k)の定義を右辺に代入した後に級数和の順番を変更すれば、このデルタ関数の公式を使う形になります。やってみましょう。

(1/N) Σk exp(-2Πi k j/N) F(k)
=(1/N) Σk exp(-2Πi k j/N) Σl exp(2Πi k l/N) f(l)
=(1/N) ΣkΣl exp(-2Πi k( j-l)/N) f(l)
=(1/N) Σlf(l)Σk exp(-2Πi k( j-l)/N)
=Σlf(l) δj, l
= f(j)     (証明完了)

こんな感じです。 ここで用いた離散フーリエ変換はkが0~N-1で定義されていますが

exp(2Πi n/N) =exp(2Πi n/N) exp(-2Πi N/N) = exp(2Πi (n-N)/N)

である事を使えばk(つまり波数)に関する取り扱いを k ∈[-N/2, N/2)のような対称なものにする事もできますが、端点の取り扱いをNが偶数、奇数で分けないといけないので面倒です。 よってこのまま非対称な取り扱いをしたほうが面倒がありません。


=================(デルタ関数の公式の証明)=======================

j=lの場合は自明でしょう。 j≠i の場合の証明はj-lが整数である事を念頭において行います。 この級数和は高校でならう等比級数の計算でできます。

(1/N) Σk exp(-2Πi k (j-l)/N)
= (1/N) Σk [ exp(-2Πi (j-l)/N) ]k
=(1/N) (1- rN)/(1-r)

( r=exp(-2Πi (j-l)/N) は等比級数の比例定数  ) ここでrN=1である事を使えば級数和はゼロである事が分かります。 よって次の式が証明されました。

(1/N) Σk exp(-2Πi k (j-l)/N) = δj, l

この式が直感的に分かり辛いという人はj-l=1の場合の級数和を考えて見てください。 その場合exp(2Πi k/N)は複素平面において半径1であり、単位円をN等分するような点のk番目であることを思い起こしてください。するとこの級数和は単位円を一周するような点を集める事に相当しますから、総和はゼロです。これをj-l=nの一般の場合に拡張すれば答えを得ることができます。

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