2017-10

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≪ Sine-Gordon方程式 1 ALL Sine-Gordon方程式 3 ≫

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Sine-Gordon方程式 2

さてこの記事の主役であるサイン・ゴルドン方程式はというと

□φ+sin(φ)=0                   (□=∂t2-∂x2)


という至ってシンプルな、しかし非線形な微分方程式である。 sin(φ)の項がなければ、この式は相対論的な波の方程式として有名なKlein-Gordon方程式と呼ばれるものである。 するとSine-Gordon方程式というはちょっとしたユーモアであろうか。 この波動方程式は□がローレンツ変換に対してに普遍な形をしているので相対論的な方程式となっている。 よってこの方程式を解いて得られる結果は相対論的に普遍な形をしているであろう。 これは理解の助けにはなるが、相対論的な形式がSine-Gordon方程式の非線形解になにか重要な役割を果たしているわけではなさそうである。 後々数値解析を始めることになるが、その前にSine-Gordon方程式のキンク、反キンク解としてよく知られた解析解を求めておこう。 通常の波動解析でよく知られているように、速度vで動く波は、その変数依存性がz=x-vtという形で纏まっていることを思い起こそう。 ここでも同じような結果を期待してx,tという二つの変数がz=x-vt という一変数で書けると仮定する。 x,tを使った二変数の微分はzを用いると次のように書ける

□=-(1-v2) (d/dz)2

Sine-Gordon方程式はzを使うと

-(1-v2) (dφ/dz)2 + sinφ = 0

と書けるが、両辺に(dφ/dz)を掛けてやると積分可能で

1/2 (1-v2) (dφ/dz)2 +  cosφ = C

となる。Cは積分定数であるが、これがエネルギーに対応した量であることは容易に想像できるだろう。  この式を次のように書き換える。

 ∫(C-cosφ)-1/2 dφ= ±√2 ・γ∫dz   

ここでγ=(1-v2)-1/2は相対論的な取り扱いでお目にかかる因子である。 さらにこの式の両辺も積分可能であるが答えは楕円関数で、その後の式変形が難しいようである。 そこで以下ではC=1の場合に限って話を進めていく。 
その場合には(1-cosφ)=2sin2(φ/2) の公式が使えるので

∫sin-1(φ/2) dφ= ±2γ(z-z0)   

である。 左辺の積分は公式集とにらめっこすると∫sin-1(φ/2) dφ=2log(tan(φ/4))
を発見する(地道に自分で解きたい人はtan(φ/4)=ηと変数変換すれば良い)。 よって

log(tan(φ/4)/tan(φ0/4)) = ±γ(z-z0)

となる。最終的にφ=4Arctan(tan(φ0/4) exp[±γ(z-z0)] ) が求めていた解であるが、 見栄えを良くするためにtan(φ0/4)の項をz0に吸収し、またx,tの依存性も全て書いて、最終結果を


φ±(x,t)=4Arctan(exp[±γ (x-x0-v(t-t0)] )    (但しγ=1/√[1-v2] )

としておく。 もともとのSine-Gordon方程式はφ→φ+2Πという変換を施しても変更を受けないために求めた解析解に2Πの整数倍だけ加えて答えを上下にシフトする事が可能である。 ここで求めた二つの解はキンク解、と反キンク解と呼ばれそれらはxの無限遠点で φ±(±∞)=2Πという境界条件に従い、もう一方の無限遠ではφ=0に固定されている。
キンク、反キンク解の図を下に描いた。 この図ではキンク解、反キンク解ともにz=0でφ=0からφ=2Πに変位しているが、時間発展させてみるとこの変位の位置が右や左に移動していく事になる。 この解自体はそれほど驚きがあるわけではないが、実はSine-Gordon方程式の解として、これらの解を重ね合わせたようなキンク-キンク解やキンク-反キンク解も存在するのである。 非線形な方程式でこのような現象が見られる事は非常に面白く、自然現象の奥の深さを示す一例ではないだろうか。

sg_kinks.gif

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