目次
| ≪ ゴーオンジャーになる日々 | ALL | シュレディンガー方程式の数値計算 その５ ≫ |
面積を測る （シェルピンスキーの三角形）
「細かい事は気にせずに、兎に角長さが2倍になれば面積は4倍になるでしょ！？」
妻は、私の説明に驚いた顔で 「え？」 と言うと黙りこくってしまった。 暫くして、やっぱり面積は4倍になるのと訊いてきた。 まあそうだろと軽く返答すると「何でそんなこと分かるの？」と全く理解不能だという表情である。 「もう今日は遅いから寝よう、うまい説明を考えておくからさ。」
目を閉じて思う、理系の常識だろ。 全ての長さが2倍になれば面積は4倍、体積は8倍。 確か小学校でも習ったはずだ。 まあこんな事当然なのさ、そう思いつつ睡魔に襲われる。 その夜もイビキをかいたのだろうか。
(三角形） 面積の公式S△=1/2*a*h （aは底辺でhは高さ）、底辺と高さが2倍になれば面積は4倍。
（円） S○=π r2 (rは半径）、ｒが2倍になれば面積は4倍。
そうか、全ての長さを2倍すれば面積は4倍か。 昨晩は当然だと思ったが実はそうでもない。
次のような一寸変わった図形を考えてみよう。 これはシェルピンスキーの三角形と呼ばれている。同じような構造が無限に繰り返す、フラクタル図形と呼ばれる物の一種である。
このシェルピンスキーの三角形の面積をSとしよう。 S平方メートルでも、S平方センチメートルでも何でも良い。 具体的な数字がないと難しいという方はS=１m2と考えてもよい。さて、この図形の長さを全て2倍にしてみよう。 底辺も、二つの斜辺も全て元の三角形の2倍である。 それが次に描いた “2倍されたシェルピンスキーの三角形” である。
さてさて、面積は4倍になっただろうか？ 分かりづらい人はもとの図形と2倍されたものを重ねた図を下に描いたから、じっくり比較してほしい。 ただし、2倍された図形と元の小さい方の図形はぴったりと重なって見えなくなっ困るから、小さいほうのシェルピンスキーの三角形の部分だけ赤の背景色を入れておいた。
どうでしょうか？ 長さを2倍すると面積は4倍になりましたか？ 2倍されたシェルピンスキーの三角形は元の図形と全く同じものを３つ含む事に気がつけば
元のシェルピンスキー三角形の面積＝S
2倍されたシェルピンスキー三角形の面積＝３S
が答えだと分かります。つまり長さを2倍すると面積は3倍です。 面白いと思った方は次の四角形の場合にどうなるか考えてください。
妻は、私の説明に驚いた顔で 「え？」 と言うと黙りこくってしまった。 暫くして、やっぱり面積は4倍になるのと訊いてきた。 まあそうだろと軽く返答すると「何でそんなこと分かるの？」と全く理解不能だという表情である。 「もう今日は遅いから寝よう、うまい説明を考えておくからさ。」
目を閉じて思う、理系の常識だろ。 全ての長さが2倍になれば面積は4倍、体積は8倍。 確か小学校でも習ったはずだ。 まあこんな事当然なのさ、そう思いつつ睡魔に襲われる。 その夜もイビキをかいたのだろうか。
(三角形） 面積の公式S△=1/2*a*h （aは底辺でhは高さ）、底辺と高さが2倍になれば面積は4倍。
（円） S○=π r2 (rは半径）、ｒが2倍になれば面積は4倍。
そうか、全ての長さを2倍すれば面積は4倍か。 昨晩は当然だと思ったが実はそうでもない。
次のような一寸変わった図形を考えてみよう。 これはシェルピンスキーの三角形と呼ばれている。同じような構造が無限に繰り返す、フラクタル図形と呼ばれる物の一種である。
このシェルピンスキーの三角形の面積をSとしよう。 S平方メートルでも、S平方センチメートルでも何でも良い。 具体的な数字がないと難しいという方はS=１m2と考えてもよい。さて、この図形の長さを全て2倍にしてみよう。 底辺も、二つの斜辺も全て元の三角形の2倍である。 それが次に描いた “2倍されたシェルピンスキーの三角形” である。
さてさて、面積は4倍になっただろうか？ 分かりづらい人はもとの図形と2倍されたものを重ねた図を下に描いたから、じっくり比較してほしい。 ただし、2倍された図形と元の小さい方の図形はぴったりと重なって見えなくなっ困るから、小さいほうのシェルピンスキーの三角形の部分だけ赤の背景色を入れておいた。
どうでしょうか？ 長さを2倍すると面積は4倍になりましたか？ 2倍されたシェルピンスキーの三角形は元の図形と全く同じものを３つ含む事に気がつけば
元のシェルピンスキー三角形の面積＝S
2倍されたシェルピンスキー三角形の面積＝３S
が答えだと分かります。つまり長さを2倍すると面積は3倍です。 面白いと思った方は次の四角形の場合にどうなるか考えてください。
コメント
謝謝
すぐ下のコメントで所々おかしなところがありますが，T_0U_0→T_0＼U_0(差)，T_nU_n→T_n＼U_n，<br>は改行のつもりです．
失礼しました．
失礼しました．
追伸ですが，向こうの記事の著者には，いくらか説明を加えて納得して貰いました．以下，参考までに，説明の概要を示しておきます．<br>
まず，シェルピンスキーの三角形の定義をしました．平面上に具体的に正三角形T(=T_0)を作り，T_0の中の反対向き小三角形をU_0とし，T_1=T_0U_0とします．
一般に，U_nをT_nの各三角形の中から取り除くべき小三角形の和集合として，T_{n+1}=T_nU_nとし，∩_{n=0}^∞ T_nによってシェルピンスキーの三角形Sを定義します．<br>
次に，Tの一つの頂点を原点O，残りの頂点をA,Bとし，各点をベクトルと同一視して，2S={2v|v∈S}によってSの2倍を定めます．また，S+A={v+A|v∈S}およびS+B={v+B|v∈S}を定め，2S=S∪S+A∪S+Bなることを確認して，<br>
「2倍すると3つの合同なパーツができる」 <br>
ということを確認しました．<br>
この説明で，僕の見る限りは納得できているようです．
まず，シェルピンスキーの三角形の定義をしました．平面上に具体的に正三角形T(=T_0)を作り，T_0の中の反対向き小三角形をU_0とし，T_1=T_0U_0とします．
一般に，U_nをT_nの各三角形の中から取り除くべき小三角形の和集合として，T_{n+1}=T_nU_nとし，∩_{n=0}^∞ T_nによってシェルピンスキーの三角形Sを定義します．<br>
次に，Tの一つの頂点を原点O，残りの頂点をA,Bとし，各点をベクトルと同一視して，2S={2v|v∈S}によってSの2倍を定めます．また，S+A={v+A|v∈S}およびS+B={v+B|v∈S}を定め，2S=S∪S+A∪S+Bなることを確認して，<br>
「2倍すると3つの合同なパーツができる」 <br>
ということを確認しました．<br>
この説明で，僕の見る限りは納得できているようです．
わかりました
先ず、コメント感謝しています。 批判も含めてどんどん書いてください。
なるべく早く続きの記事なり、この記事の修正をするつもりです。
誤解を招く状況を放置しておくつもりはありません。
どう対処するかはもう少し考えさせてください。
なるべく早く続きの記事なり、この記事の修正をするつもりです。
誤解を招く状況を放置しておくつもりはありません。
どう対処するかはもう少し考えさせてください。
「読み物として」ということであれば，各著者それぞれの書き方があると思いますが，
21023.l-3-l.me/1232780200/
↑ＨＴＴＰを取りました
のような混乱を招いている状況がある，ということだけは指摘しておきます．
ちなみに個人的には，「面積」というのはやはり違和感を覚えます．
1次元の測度0の集合としてカントールの3進集合(次元はlog2/log3)なんかが有名ですが，カントール集合で「長さ」などと言ってしまうと，いろいろ問題があるように感じられますので．
失礼しました．
21023.l-3-l.me/1232780200/
↑ＨＴＴＰを取りました
のような混乱を招いている状況がある，ということだけは指摘しておきます．
ちなみに個人的には，「面積」というのはやはり違和感を覚えます．
1次元の測度0の集合としてカントールの3進集合(次元はlog2/log3)なんかが有名ですが，カントール集合で「長さ」などと言ってしまうと，いろいろ問題があるように感じられますので．
失礼しました．
すばやい
うーん、そうきたかー、というのが第一印象。
sunさんの言っていることはもっともですが、このあとちょっと続きを書こうと思っていたので多少面白くしないといけないと言う事情があります(笑）。
ウソは書きたくありませんが、全てを最初から厳密に書くと読み物としてつまらないという思いますし・・・・・
そのうち、この記事は続きを書きます。
コメント有難うございました。
sunさんの言っていることはもっともですが、このあとちょっと続きを書こうと思っていたので多少面白くしないといけないと言う事情があります(笑）。
ウソは書きたくありませんが、全てを最初から厳密に書くと読み物としてつまらないという思いますし・・・・・
そのうち、この記事は続きを書きます。
コメント有難うございました。
シェルピンスキーの三角形は，平面では零集合ですよ．
つまり，面積0です．
つまり，面積0です．
コメントの投稿
トラックバック
http://letsphysics.blog17.fc2.com/tb.php/435-70c71caa
解説ありがとうございました。