2017-08

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≪ シュレディンガー方程式の数値計算 その5 追記 ALL 読むべし ≫

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シュレディンガー方程式の数値計算 その6

前回シュレディンガー方程式の時間発展を解くときの注意を述べた。
ポイントは離散化した差分方程式が時間発展に関してユニタリーになるようなうまい方法を見つけることだった。 一旦分かってしまえばなんてことはないが、アルゴリズム自体がおかしい時にそれを知らずにシュミレーションすると酷い事になる。 おかしな結果がでてきても、プログラムのバグに違いないと思い込んでしまうからである。 

この時間発展に関してユニタリーになった差分方程式、そのままプログラミングすれば終わりなのだが、単純にやると多少効率の悪いことになる。 それは行列の対角化が必要になるためである。
しかしそれはテクニカルな事であり、アルゴリズムの本質的な部分は前回の記事で尽きている。
需要があればそこまで説明するが、殆どの人は興味がないであろうから、シュレディンガー方程式の時間発展に関してはこれで終わりにしよう。 結果をGIFファイルにしたので、見たい方は記事の続きへどうぞ。

particleinboxxxxx

コーディングはC++。プロットしたデーターは波動関数の2乗(規格化はしていないのだが、t=0での波の高さを初期波動の持つ運動エネルギーの大きさに調整してある)。 波動関数は図の両端でψ(端点)=0となる境界条件を課してある。ポテンシャルは水色で示した粗中央の柱。 またファイルサイズが大きくなりすぎるとアップロードできなくなるために、時間間隔Δt 実際のシュミレーションのものより大きい。つまりシュミレーションは細かいΔtでやったが、コードは細かい情報をすてて、多少大きなΔtのデーターを吐き出すようにした。さらに表示は time:0~80に制限した。

ここではポテンシャルの高さを入射波束の運動エネルギーと同じに設定した。 よってトンネリングと反射の可能性が50% v.s. 50%というところ。 ここで物理として面白いのは、波動関数がほぼ左側に閉じ込められていることである。 これはポテンシャルの幅を調整して波動現象の共鳴が起こる状況を実現したためである。



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