2017-10

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≪ C++実践プログラミング ALL 2009年 一月 雑感  ≫

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蝶模様のホッフスタッターさん

ダグラス・ホフスタッターの蝶の模様は非常に不思議な図である。 蝶のように見えるのは、色のついてない部分であって、カラーの部分ではない。 この図がどのようにして得られたかを説明するのは大して面白いことではないのだが、その意味しているところを説明するのは非常に興奮することなのである。ホフスタッターの蝶はその物理的な意味を知ってみると平凡なフラクタル図形の中に数学と物理の深いつながりを見いだせるのである。

深い理解を持ち合わせていないので曖昧な表現になってしまうが、ホフスタッターの蝶の図ではエネルギーと磁場(下の蝶の図はまさにエネルギーと磁場を変数とした平面に描かれている)が無理数と有理数を区別するという事である。 

 「それって凄いことなの?」。 

という質問に対して、私は「凄いと思う」と答える。 何故なら磁場もエネルギーも通常は連続的な変数である。 多少いじればエネルギーも磁場も連続的に変わると思うのが常識的なのである。しかしホフスタッターの蝶の図はそれを許さない。通常、数直線上で無理数の点から少しずれると有理数になる(数学的にかなりいい加減な表現だが)。しかしホフスタッターの蝶の図ではエネルギーや磁場の取りうる値が連続的には変化していないことを示している。つまり自然は有理数と無理数を区別するというのである。 無理数と有理数の違いを認識するのは数学者の特権ではなく、自然もそういった懐の深さを持っているのである。 だがどうどうしたと言われると困るのだが、凄いと思わないだろうか。

因みに蝶の図を導いた物理系は、ランダウレベルで知られる、磁場が絡んだ量子力学の問題である。 ランダウ・レベルの話はまだ書いたことがないので、暇なときに解説をしたい。


ホフスタッターの蝶と呼ばれるフラクタル図形(思うようにカラーリングできずに、この図は失敗作なのだが、コードを書くのが面倒なのでこのまま掲載)

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