2017-08

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≪ カシミール効果 (第一回) ALL パーコレーション (相転移) ≫

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パーコレーション

2次元の升目を黒い点で埋めてゆくという作業を考えよう。一つの升目に点を打つか、それとも白のままにしておくかを確率変数pで決定するとしよう。 コイン投げのようなものだ。 pの値を上げてゆけば各升目は黒い点で埋まる場合が増え、それに従い全体も黒に染まってゆく。 下の図はそのようなルールに基づいて作った100×100の升目である(p~0.4だったと思う)。



ただ漠然と見ていては面白くない。 誰が言い出したか知らないが、「この黒い点、どのくらい繋がっているのだろうか」 と考えるのだそうだ。 《繋がっている》の定義は上下左右の繋がりであって、斜め方向は繋がっていると見なさない。

この問題、発想を変えると様々な社会現象に応用がきく。
例えば、世の常としておばちゃん達は噂話が好きであるが、噂ってどのくらい遠くまで広がってゆくのかしら? と疑問に思ったことはないだろうか。 一人のおばちゃんが、聞いたうわさを隣のおばちゃんに喋る確率をpとすると、たちまちパーコレーション問題に帰着する。 近所に4件程度のおばちゃん繋がりがあるとすると、これはパーコレーション問題において各升目は上下左右の4方向へ繋がる可能性があった事と対応する。
そこで調べた結果 p=0.6程度になると噂は途切れることなく永遠に伝播するそうである。各おばちゃんが4人中2.4人の割合で噂を喋ると仮定すると、その広がりは恐ろしい程遠くまで伝播すると考えて良い。 
話をパーコレーションの図に戻そう。 上で作ったものはp~0.4の場合であり p~0.6 の相転移に対応した値と比較してpは小さい。 (確率変数pがある値になると突然全ての升目がつながり始めるという状況が起こる。これを相転移点と呼ぶ)。 よって黒い升目は大して繋がってはいないであろう。 例えば、左下端の20×20のエリアを拡大してみると、下の図のようになる。 注意深く見るとこの20×20のエリアでもっとも長く繋がっているのは右下の4分の一エリアにある升目である。

peco0a.jpg

その繋がった升目だけを抜き出して全体の大きさと比較してみると下の図のようになる。 あまり長く繋がっていない。
peco0b.jpg

このシュミレーションで、100×100の中でもっとも長く繋がった升目を調べると下の図が得られる。

peco1.jpg

このように確率変数pと繋がりの関係を調べゆくのがパーコレーションというものらしい。もっとも数値計算などせずに、純粋に確率論として迫ってゆくのもある。 相転移点pに関して確率論からもある程度の値は知られているようだ。 

コメント

グラフィックス

グラフィックスの表示はいろいろとフリーのソフトがあると思いますが、私は使い慣れたマスマティカでやりました。アルゴリズムなど興味があれば、質問してください。

おばちゃん達の噂話

「おばちゃん達の噂話」に例えていらっしゃったのはウケました。(笑)

グラフィックの表示にどのような手法を使ったのか関心があります。「表示させる部分」に使う労力を数値計算のアルゴリズムのプログラミングにまわしたいですしね。

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