2017-03

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≪ 粒子性 波動性 ALL デルタ関数 その1 ≫

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デルタ関数 その0

デルタ関数には様々な表現があり、それらについて説明し始めると本が一冊書けるくらいだろう。つまり個々のデルタ関数の表現に惑わされるよりも、大事な性質に着目しなければ本質はみえてこないだろうし、その方がずっと経済的だということだ。デルタ関数の大事な性質とは、

デルタ関数は(積分して意味を持つ)分布である。

つまり、デルタ関数のある点における値を問題にするのは筋違いだ。関数ではないのだ。関数とはある点ごとに値が定まった対応関係であり、xという点に値fが対応するという意味でf(x)と書く。そういう見方でデルタ関数をみるとxという点にδという値が対応するものだという事になるが、これは間違いである。sin(x)やcos(x)が関数であるというとき、それらは一つの実態である、つまりx-y軸をもったグラフとして表現するとき、誰が描いてもその曲線は一つである。テイラー級数や無限乗積による見かけ上異なる表現は存在するが、実態は一つである。しかし、デルタ関数というものをx-yグラフとして描けば、それらは様々な曲線であり得る。デルタ関数とは、ある性質を満たす関数の集合であるといった方が良いだろう。そして、そのある性質とは

積分して意味をもつ、詳しくは∫dx f(x)δ(x-a)=f(a) となる

という事だ。そういった意味で各点でのデルタ関数の値にはあまり意味が無い、それはデルタ関数集合の中で、あなたが選んだ一つの関数表現がもつ値である。また、その値は関数としては非常に取り扱いづらい発散や、不連続性を持つことがしばしばである。その発散や不連続といったことを受け入れて、積分して有限な値を与える発散や不連続をもった関数を分布という。これが物理で使うデルタ関数である。まとめておこう

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デルタ関数は次の性質を満たす分布である

∫dx f(x)δ(x-a)=f(a)
  


積分領域はx=aを含むものとする、そうでない場合は右辺はゼロである。

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これがデルタ関数である。次回デルタ関数の具体的な表現をいくつか調べることにしよう。

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