2017-05

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≪ カシミール効果(第六回) ALL コイルの作る磁場 ≫

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円電流の作る磁場

円電流の作る磁場を計算してみる。例のごとくベクトルポテンシャルAは

A(r)=μ/(4Π)∫dR j(R)/|R-r|

である。 円電流がz=0のxy平面に置かれているとする。 
観測点: r1=x, r2=y,
電流の位置: R1=X, R2=Y, またr =√x2+y2+z2, R =√X2+Y2として

R= R (cosφ, sinφ, 0)
j(R) = j (-sinφ, cosφ, 0) δ(R-a)
dR=dR1dR2 = R dR dφ

∫dR j(R)/|R-r|= a j∫dφ (-sinφ, cosφ,0)/√[ a2+ r2- 2ax cosφ- 2ay sinφ]

となる。 この積分が難しくてできそうにない。 ということで、計算の都合上何らかの簡単化を図らねばならないだろう。 そこで円電流の中心軸を通るx=y=0の線上での磁場を求める。x=y=0と置きたいが、磁場はベクトル・ポテンシャルの微分だから、微分する前にx=y=0などとはできない。
そこでベクトルポテンシャルからrotを取って磁場の式に直しておこう。それならばx=y=0とおくことができる。

rotA = B(0,0,z) = μa j/[(4Π)*(a2+z2)3/2] ∫dφ (z cosφ, z sinφ, a)

積分を実行すると

B1 = B2 = 0  ,   B3=μja2/[2 (a2+z2)3/2]

が得られる。 磁場はz=0で最大でその値はB3(0,0,0)= μ j/[2 a]。 また z>>aの状況を考えればB3(0,0,z)=μja2/[2 z3]のようにzの3乗に反比例して減衰してゆく。 

うーん、そうですか・・・・、3乗で減衰。 ニュートンの万有引力は2畳で減衰、電荷の作るクーロン電場も2乗で減衰。 でも磁場は(円電流の中心を通る軸にそって)3乗で減衰。 これは何か深いものがあるのだろうか。

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