2017-11

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≪ 事務的な対応 ALL アキレスとカメ -パラドックスの考察- (吉永良正著) ≫

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円電流の作る磁場(補足)

「円電流が作る磁場」の記事において、A(r)を計算する際に次のような積分が現われました。

∫dR j(R)/|R-r|=a j∫dφ (-sinφ, cosφ,0)/√[ a2+ r2- 2ax cosφ- 2ay sinφ]

ここでR= (cosφ, sinφ,0) は電流の流れに対する位置ベクトル、そしてrはベクトルポテンシャルの位置ベクトルです。また電流は、z=0の平面上、原点の周り半径 a=|R|の円上に流れているとします。 前回この積分は難しいので、ゲージポテンシャルの位置ベクトルrに対して半径aの円の中心を通る軸上に限定して計算を進めました。 

今回はベクトルポテンシャルの位置が円電流のサイズaに比べて遠くに離れているという仮定の下にもう少し全体的な磁場の様相を調べたいと思います。 つまり r >> a という近似をする事によってベクトルポテンシャルA(r)を求めようという試みです。 方法はお馴染みのテイラー展開です。積分の分母においてr>>aという仮定の下に

∫dR j(R)/|R-r|=a j∫dφ (-sinφ, cosφ,0)/√[ a2+ r2- 2ax cosφ- 2ay sinφ]
=a j∫dφ (-sinφ, cosφ,0)/r [1+ ax/r2 cosφ + ay/r2 sinφ + O(a2)]

と近似します。テイラー展開の1次近似で満足しておきます。この積分は簡単にできて

∫dR j(R)/|R-r|=πa2 j/r3 (-y, x, 0 ) + O(a3)

となります。係数も含めてベクトル・ポテンシャルの計算をまとめると

A(r)=μ/(4π) *πa2 j/r3 * (-y, x, 0 ) + O(a3r-4)

です。この結果から回転を求めて磁場に変換すると

B(r)=μ/(4π) *πa2 j *[-(0, 0, 1)/r3 + (3xz, 3yz, 3z2)/r5]

となります。円の中心軸を通る直線上に話を限定すると x = y =0 なので

B(z)=μ/(4π) *πa2 j [(0, 0, 2)/r3]

となり前回の結果と整合しています。

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