2017-11

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≪ 光学定理 2  - 連続の方程式 - ALL スピンの合成1 ≫

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対称テンソルの独立な成分の数

d次元のn階完全対称テンソルT(i1,i2,...,in)は i1からinまでのn個の足を持ち、どの足を入れ換えても値が変わらないものです。i1,i2,...,inは1~dまでの整数です。

具体例d=3を考えましょう。例えば2階対称テンソルT(i,j)は

T(1,1),
T(2,1), T(2,2)
T(3,1),T(3,2),T(3,3)

という6個の独立な成分をもちます。T(1,2)=T(2,1)などは完全対称という条件から分かります。それではd=4なら


T(1,1),
T(2,1), T(2,2)
T(3,1),T(3,2),T(3,3)
T(4,1),T(4,2),T(4,3),T(4,4)

となります。この操作を繰り返してゆけば5次元、6次元での2階対称テンソルの独立成分の数も類推できます。
d次元の2階対称テンソルの独立な成分の数をN(2,d)とすると

N(2,d) = N(2,d-1) + d = N(2,d-2) + (d-1) + d =.... = d (d+1)/2

が成立しそうです。さて、それではd次元n階対称テンソルの独立成分はどうなるでしょうか。

N(n,d) = (n+d-1)!/n!/(d-1)!
(* Mathematicaでn階のテンソルに完全対称性を定義する一つの方法 *)
T[i__, j_, k_, l___] /; k > j := T[i, k, j, l]

T[i_, j_, k___] /; j > i := T[j, i, k]

T[i___, j_, k_] /; k > j := T[i, k, j]

(* 3階対称テンソルをd=5でリストする*)
In[1]:=
Union[Flatten[
Table[T[i1, i2, i3], {i1, 1, 5}, {i2, 1, 5}, {i3, 1, 5}]
]]

Out[1]:=
{T[1, 1, 1], T[2, 1, 1], T[2, 2, 1], T[2, 2, 2], T[3, 1, 1],
T[3, 2, 1], T[3, 2, 2], T[3, 3, 1], T[3, 3, 2], T[3, 3, 3],
T[4, 1, 1], T[4, 2, 1], T[4, 2, 2], T[4, 3, 1], T[4, 3, 2],
T[4, 3, 3], T[4, 4, 1], T[4, 4, 2], T[4, 4, 3], T[4, 4, 4],
T[5, 1, 1], T[5, 2, 1], T[5, 2, 2], T[5, 3, 1], T[5, 3, 2],
T[5, 3, 3], T[5, 4, 1], T[5, 4, 2], T[5, 4, 3], T[5, 4, 4],
T[5, 5, 1], T[5, 5, 2], T[5, 5, 3], T[5, 5, 4], T[5, 5, 5]}

独立な成分の数は N(3,5)= 7!/3!/4!=35有るはずです。

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