2017-11

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≪ 統計のお話4 ALL 2010年4月のつぶやき ≫

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テイラー展開の世界⑤

区間(0,∞)での次の積分を考えます。

F(n,a) = ∫dt tn/(et-a)

nとaは適当な数としておいて、後で好きな領域へ解析接続すれば良いと思いますので、特定はしません。
解析接続の方法に馴染みがない方は n=1, a = 1とか具体的な値を考えても良いでしょう。
積分をまじめにやる方法はあるかも知れませんが、ここではテイラー展開を使いましょう。

F(n,a) = ∫dt tn e-t Σk=0 ak e-kt

= Σk=0 ak ∫dt tn e-(1+k)t

k=0 ak Γ(1+n)/(1+k)1+n

= n!/a Σk=1 ak/k1+n

となってここまでです。ここまでという意味は、最後の和は一般にはこれ以上簡単化しないようでして、多重対数関数という特殊関数とされています。a=1の場合はこの和はゼーター関数として表現できるので

F(n,1)=n!ζ(1+n)

となります。偶数番目のζ関数はオイラーの有名な公式がありζ(2)=π2/6, ζ(4)=π4/90などが知られています。


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