2017-05

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≪ 7月 ALL プラク分布と3K輻射 ≫

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プランクの輻射公式

前回のボーズ分布の結果を箱の中の電磁場の問題に応用しよう。ただしここではあまり細かい導出には拘らないことにする。何故かというと、この問題を厳密に扱おうとすると電磁場の量子化について理解する必要があるが、その記事を書き始めると長くなるというのが理由である。ここでは箱の中に入った電磁場を

A(t,x) = Σk a(k) e-i w t + ikx

とフーリエ変換する。ここで角振動数w=c|k|は波数ベクトルkの関数であるが、これはマックスウェル方程式を多少いじっていると出てくるゲージ場に対する波動方程式 □A(t,x)=0 が有るからである。 ここで箱の中に入った電磁場に周期的な境界条件を課すのが標準的で、例えば波数ベクトルのx成分に関してはkx=2πnx/Lとおくことになる。さて、「電磁場の量子化とは角振動数wの調和振動子が各波数ベクトルk毎に存在する量子力学の問題である」ということを認めてしまおう。すると電磁場の持つエネルギーは

E = Σk h/(2π) wk (nk +1/2) = Σk h νk (nk +1/2)

となる。和の中に現れる第2項、hν/2はエネルギーの基準点で、真空エネルギーと呼ばれる。真空に満ちているこのエネルギーは測定不可能で、エネルギーの基準点を与えるだけであるので、物理的な結果は真空エネルギーを落とした

E = Σk h νk nk

を採用する。


ここで、電磁場を温度Tの箱の中にいれると、nkはボーズ分布に従うので

E(T) = Σk h νk < nk > = Σk h νk /(ek/(kT)-1) =∫ 2×(4πV/c3) hν3/(ek/(kT)-1)dν

最後の式には、電磁場の持つ偏光の自由度を考慮して2倍した。また最後の式を導出するために使った関係式を書いておくと
① λν=c

② k=2π/λ=(2πν)/c → dk=(2π/c)dν

③ Σi=(L/2π)3 d3k =L3/(2π)3 (4πk2) dk=4π(L3/c3) ν2

注意として、③において、3次元の波ベクトルの積分は角度方向は4πで、動径方向の積分をdkと書いた。
最終結果は、箱の中に入った電磁場が持つ単位体積当たりのエネルギーと振動数の関係は

E(T)/V = ∫dν[8πh/c33/(ek/(kT)-1)

である。積分をはずすと、単位体積あたりのエネルギーに対する振動数の分布が得られる。

plankbunpu.jpg

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