2017-11

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≪ どっぷら~効果 ALL 映画「大停電の夜に」 ≫

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光のドップラー効果

前回、運動によって光や音の波長が変わって見えるというドップラー効果について、
そのアイディアを(読者まかせな内容でしたが)説明しました。
今回は光のドップラー効果を、数式を使って導出してみます。直感的に納得できたなら
つぎは数式を使った導出でしょう。以下特殊相対性理論の知識を使いますから、一般受け
はしない記事となっております。
先ず、光の4次元運動量をkμ=(E, ki)とします。光は質量がゼロですから
k2=0という条件がつきます。つまりki=E niと表せます。ここでniは光の運動方向へ
向いた3次元の単位ベクトル、つまり(ni)2=1です。光の持つエネルギーと
波長の関係は E=hν=hc/λです。これは量子力学で習う式です。まとめると光の4次元運動量kは

k=hc/λ(1, ni)

と書けます。次に光を出す光源の4次元速度ueを定義します。

ueμ=dxeμ/dτ=γe (1, vei)

γe=1/√[1-ve2/c2]は時間や空間の伸び縮みに関係した量でγ因子と呼ばれます。
導出には特殊相対性理論におけるローレンツ変換を知っている必要があります。
同じように観測者の4次元速度も得られて

uoμ=dxoμ/dτ=γo (1, voi)

です。これで準備が整いました。計算を始める前にもう一つ、4次元速度の内積は
ローレンツ不変であったということを指摘しておきます。よって、k.ueやk.uo,または
uo.uoなど、これらの量は全てローレンツ不変です。

k.ueを計算してみましょう。具体的な式を得るためにこの量を光源の静止系で
評価してみます。光源の静止系ではue=(1, 0i)です。よって

[光源の静止系で評価したk.ue] = hc/λe(1, nei ) •(1, 0i) =hc/λe ............ (1)

ここでλeは光源の静止系で測られた光の波長です。またこの量は一般の系で評価すると

[一般の系で評価したk.ue] = hc/λ(1, ni ) • γo(1, vei) =(hc/λ)γe (1-n•ve) ............(2)

それで、この二つの評価は見かけこそ異なりますが、ローレンツ不変な量ですから、
実は同じ値になるはずです。つまり(1)=(2)です。これから

hc/λe = (hc/λ)γe(1-n•ve) ..........(3)

が導かれます。全く同じ論理をk.uoに対して適用してみます。観測者の静止系では
uo=(1, 0i)です。k.uoを観測者の静止系で評価すると[k.uo]=hc/λoとなります。
つまり観測者が測る波長で表されます。一般の系で評価すると(hc/λ)γo(1-n•vo)です。(3)式に対応した式として

hc/λo = (hc/λ)γo(1-n•vo) ..........(4)

が得られます。(3)式と(4)式の比を取ると光源での波長と観測される波長の比が得られます。

λo-1e-1 = ( γo[1-n.vo] )/ (γe[1-n.ve] )

これが特殊相対性理論で得られる光のドップラー効果です。観測者が静止していて光源が遠ざかる場合を考えてみましょう。これは光を出しながら遠ざかる星を我々が見ている場合に相当します。その場合、 vo=0, γo=1 です。また星は我々から見てまっすぐ後ろに遠ざかるとします、つまりn.ve= -ve (ve >0 )。これらの式を代入すると

λoee (1 + ve)

となって、これは星から出た光の波長が伸びて観測される事を意味します。光源の速度があまり大きくない場合には

γe=1/√[1-ve2/c2] ~1+1/2* (ve/c)2

と近似できます。ゆっくり遠ざかる星に対しては第二項は無視できます。その場合にはλoe~(1 + ve)ですが、これは特殊相対性理論を用いるまでもなく理解でき、通常のドップラー効果のの公式で得られる波長の伸びです。、γ因子はローレンツ変換の為に光源の空間が縮んだことによる効果で、特殊相対性理論の効果と言えるでしょう。

コメント

波長と周波数は違う

アトムさん、こんにちは
光のドップラー効果ですが以下ではないでしょうか?

客観的にみて、ご自分が高速で移動(v)したとみましょう。
光速度C^2=移動速度v^2+自分の変化速度w^2・・・ピタゴラスの定理

v=0のときは、C=w0=(f0)(λ0)で、fは周波数、λは波長です。
これは今、自分が自分を見ているときと同じです。

0→vになると、C^2=(↑v)^2+(↓w)^2、↓w=(f0)(↓λ)
vが変わっても自分から出る電磁波の周波数f0は同じです。
※周波数が同じということは、温度も時間も同じです。
でも客観的に見た自分と実際の自分の変化のスピードが変わります。
C/w

実際には、誰か他の人が観測することになれば、縦ドップラー効果により、相対速度があるので、救急車の音が変化するように、近づく遠ざかるによって周波数が変化しますので、周波数は同じには見えません。

時間がゆっくり見えた分に対しての温度がどう見えるかがわからないなんてありえません。
vで移動する自分がゆっくり変化して見えても、自分からでる縦ドップラー効果を除いた電磁波w0は以下のようになるので、周波数(f=1/T)に応じた同じ温度が見えます。これはお互いの時間が共通なことを意味します。

横ドップラー効果は波長の変化(波長がv=0の元に戻るので赤方偏移)
C^2=(↑v)^2+((f0)(↓λ))^2 ⇒ w0=(f0)(λ0)
↓λ=(λ0)√(1ー(↑v)^2/C^2)

縦ドップラー効果は周波数の変化(近づく遠ざかる角度によって青/赤方偏移)
△f=f0/(1-(v/C)cosθ)

ローレンツ収縮した物体の温度
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q12106957332

ひゃまの飛んでもない光論より

済みませんが忙しくて手がまわりません

最近は忙しくて、ブログの管理もあまりできません。週末は時間をとりなんとか記事を書けるように頑張っていますが、とにかく忙しい。やりたい事がいっぱいあるのですが、それもなかなかできません。

そういうわけですから、導きたい方程式があったら先ず自分で手を動かしてみてください。
学問の道に王道はありませんから、やったら、やった分だけ理解が深まると思います。
少なくtも私はそういうものだと思っています。

毎度お世話になります、ひゃまです。

赤方偏移がハッブルのいうような、膨張によるドップラー効果でない場合、
時間の矢の方向にタイムシフトしている4次元宇宙空間であった場合、

その赤方偏移率が時間の経過に合う方程式を導いてくれませんか?
もし観測結果と合うなら、赤方偏移率から星との距離を導き出せると思われます。

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