2017-10

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≪ 映画「なくもんか」 ALL 今でも輝きを放つ名曲たち 9 ≫

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膨張宇宙でのドップラー効果2

「膨張宇宙のドップラー効果1」の続きです。

前回、相対論的な2点間の距離ds2まできました。それは





       ds2=(cdt)2 - a(t)2 dr2        


という式で与えられました。この式の名前に距離という言葉が使われて
いますが、それは通常使われる意味での距離と同じような性質をもつか
らなんですが、一方で全く異なる性質も持っていますから、あまり名前
に拘ると理解が先に進まないかもしれません。
さて光の軌跡は、この距離がゼロになるという性質があります。(もしも、
距離がゼロだから進まないってこと?と思ったら、それは貴方が通常の
距離という言葉に拘っているからです。)






   つまり光の軌跡を決める方程式は以下になります。  
    
   ds2=0 → cdt = - a(t)dr 

  (2乗根を取るときに負号の有る方を取りました。)     




昔から良く考えられていた静的な宇宙、つまり膨張も収縮もしていない場合には
a(t)=1で、光の軌跡は cdt = dr という方程式で決定されるわけです。これは微分
方程式として解く事が出来て、

dr/dt = - c  → r(t) = r(t0) - c ( t - t0)

という答えを得ます。時刻t0にr(t0)の位置から出発した光が、速度cで
飛んでくるという式になっています。時間と位置をグラフにしてみました。

図はr=5の位置から時刻t=1,2,...と一秒間隔で光を出した場合の
光の軌跡を青い線で描きました。見やすくするために光速c=1と
してあります。


次に膨張宇宙としてよく使われるスケール因子

a(t)=t2/3

を使ってみます。このスケール因子は、宇宙空間に物質が満ちている場合の
アインシュタイン方程式の答えに対応しています。時間と共にスケール因子
が大きくなるので、これは膨張に対応しています。このスケール因子を先ほ
どの式に代入すると

dr/dt= - c t-2/3 → r(t)= r(t0) - 3 c ( t1/3 - t01/3 )

という答えがでてきます。先ずは光の軌跡を位置rと時間tをグラフ
にしてみました

gredshiftfig1.jpg
光は位置r=5から時刻がt=1,2,...と一秒間隔で発射されています。
最初の光が届くまで20秒近くかかっています。先ほどのスケール
因子がa(t)=1の場合の図と比較してみて下さい。
なぜ光は到着までに時間がかかったのでしょうか? それは宇宙が
膨張しているためです。光にしてみれば、目盛りの位置が5で有っ
ても実際の位置は時間と共に引き延ばされ、思わぬ長距離を飛行する
事になってしまったのです。もう一つ分かる事は、1秒毎に発射され
たはずの光ですが、我々の位置r=0に到着するのは1秒毎よりもう
少し伸びた間隔で届いています。実はこれは光の波長の伸びに関係
した大事なポイントです。あとでもう一回振り返ってみましょう。

次に位置ではなく、実際の距離を使ってグラフを作り直してみましょう。
時刻tにおける距離は位置座標にスケール因子a(t)を掛けて得られます。
上の図の縦軸を位置r(t)ではなく、距離d(t)=a(t)r(t)で表した図が下の
ようになります。
gredshiftfig2.jpg

面白いですね。我々(r=0)に向けて発射された光が、発射されて
暫くの間我々から遠ざかっています。これは座標値としては、我々
に近づいていても、宇宙の膨張によって空間が伸びたためだと分か
ります。似たようなことはありますね。頑張って試験の点数を伸ば
したにも関わらず、全体的に点数があがってしまったために成績の
順番は下がったり。あまり良い例えになってませんが、そんな感じ
だと思います。

これで重力のドップラー効果を理解するために足慣らしを終えました。
もう本質は見えているんじゃないかと思いますが続きは次回に。

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