電磁気学 その7
電磁場は電子によって作られるのだから、ゲージ場を理解するためには電子を理解する必要があると考えるのは自然だろう。電子を理解するということは量子力学の出番であろう。なぜならミクロな世界での運動は量子力学に支配されているからである。さて、このミクロな世界の言葉である量子力学とMaxwellの方程式はどのような関係にあるのだろうか。これは量子電磁気学という分野になるのだが、なかなか一筋縄ではいかない理論なのだ。ここで量子電磁気学について説明するつもりはない。今のところ量子電磁気学をスッキリと説明できるほど私の理解が達していない。いつかそういうことも記事にしたいとは思うのだが、この記事ではそこまで触れない。私がやりたいことは、量子電磁気学で知られているいくつかの事実を元にゲージ場について新しい視点を与えることだ。 実は電磁場よりもゲージ場が本質であるという理解は量子電磁気学までいくと良くわかる。電磁場を使った表現は量子力学との相性が悪いことが知られており、量子電磁気学ではゲージ場が主人公を演じる。それならば量子力学の枠内でゲージ場どのように導入されるかを調べてゆけば、ゲージ場について深い理解が得られるだろう。そんなわけでしばらく量子力学の復習からはじめて、ゲージ場の導入過程をみてゆこう。
一次元の量子力学を考える。量子力学で問題にされるのは電子の波動関数だ。波動関数が分れば各時刻における電子の位置と運動量の情報が分っている事になる。例えば波動関数の二乗|Ψ(x)|2を取れば位置ｘにおける電子の存在確率を与え、その微分idΨ/dxは電子の運動量の情報を与えてくれる。また波動関数の性質として複素数であるということが大事である。つまりΨ=Re(Ψ)+iIm(Ψ)と書けば波動関数は実部と虚部という二つの情報を持つ。又はΨ(t)=|Ψ|eiθと書いて波動関数の絶対値と位相を調べても良い。量子力学で習う確率の保存から
j=-ie Ψ*∂x Ψ =-ie (1/2)∂x|Ψ|2 +e∂xθ
が電子が作る電流である事を習っただろう。平面波を議論する場合には波動関数の絶対値は１であるから電流は波動関数の位相だけで決まってしまう。
j=e∂xθ
電流を測れば電子の波動関数の位相がわかるのだ。しかしよく見ると位相そのものではなくて、その微分が測定にかかるようだ。つまりθ(x)→θ(x)+c と定数だけ位相を変えても電流は同じ値のままだ。つまり位相の絶対値は実験では決められない。いろいろと物理量を調べてみても電子の位相そのものを測るうまい実験はなさそうだ。実はこれが普通の波と違う波動関数の持つ大事な性質なのだ。位相の絶対値は測れないということを覚えておこう。
電子の位相を視覚的に表現するのは複素数の空間を用いるのが良い。波動関数Ψ(x)の実部と虚部を図の複素空間の点で表す。
赤いベクトルは複素平面上での波動関数の値を表す。波動関数の絶対値はベクトルの長さで与えらえ、位相は複素平面のφｘ軸とベクトルがなす角度で与えられるわけだ。この複素空間は波動関数の実部と虚部を表すために作った数学上の空間であり我々の住んでいる３次元空間とはなんの関係ないことに注意しよう。
このようにして波動関数を複素平面上に表示するのだが、実際には各点ｘ毎にこの複素平面を用意してやる必要がある。読者の頭の中で想像力を駆使してなんとかイメージして欲しい。とりあえずここではx=-1， 0， +1と三点における複素平面を用意してみた。
この複素平面上に波動関数の値を示す点が用意されれば、原理的にはこれで全てが分ったことになる。
絶対値が１の平面波に限れば、
Ψ(x1)=eiθ(x1)
Ψ(x2)=eiθ(x2)
Ψ(x3)=eiθ(x3)
Ψ(x4)=eiθ(x4)
…
と重なる複素平面を用意して波動関数を表示すればあらゆる実験を予測するデーターを手にいれた事になる。例えばｘ軸を0.1毎に区切って
x1=0.1
x2=0.2
x3=0.3
x4=0.4
…
の各点に複素平面を表示すれば良いだろう。こんな粗い区切りでは満足できないという人は無限に細かく区切ってやるのだ。実際には不確定性原理があるので、無限に細かくする必要もないだろうが各自の気の済むまで細かくすれば良いだろう。このようにして電子の位相のデーターを複素平面上の点で表現したことになるだろう。このデーターから電流や、電子の密度揺らぎなどあらゆる物理量が計算できると思われる。
と納得した読者には寝耳に水だろうが、これでいいのだろうか？
ここで休憩をいれ、続きは次回にしよう。この問題提起を詳しく検討してゆけばゲージ場という概念に多少迫れるのではないだろうかと思うのだ。
一次元の量子力学を考える。量子力学で問題にされるのは電子の波動関数だ。波動関数が分れば各時刻における電子の位置と運動量の情報が分っている事になる。例えば波動関数の二乗|Ψ(x)|2を取れば位置ｘにおける電子の存在確率を与え、その微分idΨ/dxは電子の運動量の情報を与えてくれる。また波動関数の性質として複素数であるということが大事である。つまりΨ=Re(Ψ)+iIm(Ψ)と書けば波動関数は実部と虚部という二つの情報を持つ。又はΨ(t)=|Ψ|eiθと書いて波動関数の絶対値と位相を調べても良い。量子力学で習う確率の保存から
j=-ie Ψ*∂x Ψ =-ie (1/2)∂x|Ψ|2 +e∂xθ
が電子が作る電流である事を習っただろう。平面波を議論する場合には波動関数の絶対値は１であるから電流は波動関数の位相だけで決まってしまう。
j=e∂xθ
電流を測れば電子の波動関数の位相がわかるのだ。しかしよく見ると位相そのものではなくて、その微分が測定にかかるようだ。つまりθ(x)→θ(x)+c と定数だけ位相を変えても電流は同じ値のままだ。つまり位相の絶対値は実験では決められない。いろいろと物理量を調べてみても電子の位相そのものを測るうまい実験はなさそうだ。実はこれが普通の波と違う波動関数の持つ大事な性質なのだ。位相の絶対値は測れないということを覚えておこう。
電子の位相を視覚的に表現するのは複素数の空間を用いるのが良い。波動関数Ψ(x)の実部と虚部を図の複素空間の点で表す。
赤いベクトルは複素平面上での波動関数の値を表す。波動関数の絶対値はベクトルの長さで与えらえ、位相は複素平面のφｘ軸とベクトルがなす角度で与えられるわけだ。この複素空間は波動関数の実部と虚部を表すために作った数学上の空間であり我々の住んでいる３次元空間とはなんの関係ないことに注意しよう。
このようにして波動関数を複素平面上に表示するのだが、実際には各点ｘ毎にこの複素平面を用意してやる必要がある。読者の頭の中で想像力を駆使してなんとかイメージして欲しい。とりあえずここではx=-1， 0， +1と三点における複素平面を用意してみた。
この複素平面上に波動関数の値を示す点が用意されれば、原理的にはこれで全てが分ったことになる。
絶対値が１の平面波に限れば、
Ψ(x1)=eiθ(x1)
Ψ(x2)=eiθ(x2)
Ψ(x3)=eiθ(x3)
Ψ(x4)=eiθ(x4)
…
と重なる複素平面を用意して波動関数を表示すればあらゆる実験を予測するデーターを手にいれた事になる。例えばｘ軸を0.1毎に区切って
x1=0.1
x2=0.2
x3=0.3
x4=0.4
…
の各点に複素平面を表示すれば良いだろう。こんな粗い区切りでは満足できないという人は無限に細かく区切ってやるのだ。実際には不確定性原理があるので、無限に細かくする必要もないだろうが各自の気の済むまで細かくすれば良いだろう。このようにして電子の位相のデーターを複素平面上の点で表現したことになるだろう。このデーターから電流や、電子の密度揺らぎなどあらゆる物理量が計算できると思われる。
と納得した読者には寝耳に水だろうが、これでいいのだろうか？
ここで休憩をいれ、続きは次回にしよう。この問題提起を詳しく検討してゆけばゲージ場という概念に多少迫れるのではないだろうかと思うのだ。
コメント
コメントの投稿
トラックバック
http://letsphysics.blog17.fc2.com/tb.php/52-851361a4
