2017-10

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≪ 映画「ゴールデンスランバー」 ALL 半減期 その2 ≫

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半減期 その1

10×10=100個のマスメに不安定な原子をおいて崩壊の様子を観察しよう。
下のアニメーションはマスメに置かれた原子(黒い点)が次々と壊れて減っ
てゆく様子を表している。

decay_life_time_02.gif


簡単のために1秒間に1%の原子が壊れるとする。最初に100個あれば、1秒後に
は1個(=100個×0.01)の原子が消えてなくなる。つまり残りは99個である。
次の1秒では99個×0.01=0.99個の原子が消える。ではt秒後には何個の原子が
壊れるだろうか。

時刻t=0にN0個の原子が存在するとしよう。時間の経過を追ってゆこう。

●0~1秒の間に壊れる原子の数 = 0.01 × N0

●1秒後に壊れずに残っている原子の数 = N0 - 0.01 × N0 = 0.99 × N0

まとめると時刻t=1にN1=0.99×N0個の原子が残っている。
次の1秒,つまりt=1~2秒の間に壊れる数とt=2秒後に壊れずに
残っている数は次のようになる。

●1~2秒の間に壊れる原子の数 = 0.01 × N1

●2秒後に壊れずに残っている原子の数 = N1 - N1×0.01 = 0.99 N1

これを繰り返してゆくとt秒後に残る原子の数は0.99がt回かかった数
N(t)= 0.99 × 0.99 × .... × 0.99 × N0 = 0.99t × N0
となる事が分かる。パソコンに数値を入れて計算してみると

N(0) = 100.0
N(1) = 99.0
N(2) = 98.0
N(3) = 97.0
N(4) = 96.1
N(5) = 95.1

となる。およそ1秒間に約1個減ってゆく。つまり50秒経てばこの原子は
50個減って元の100個の半分程度になるであろう。この「元の数の半分
になる時間」を原子の半減期と呼ぶ。

さて注意深く原子の数を見直してみると,実は1秒間に1つ壊れていくという
のは正確ではない事が分かる。もう少し先の時刻まで調べてみよう。
1秒毎に数字を並べると見づらいので,10秒毎にNを計算する。

N(0) =100
N(10)=90.4
N(20)=81.8
N(30)=74.0
N(40)=66.9
N(50)=60.5
...
N(100)=36.6

50秒後の原子の数はN(50)=60.5個であって半分の50ではない。実は原子が壊れて
減ってゆくスピードはどんどん遅くなるのである。その理由は

壊れる原子の数はその時点で残っている原子の数N(t)に比例する

からである。原子が壊れるか壊れないかは,原子一個に対して決まっているのであって、
「1秒間に原子が壊れる確率は1%」というのがルールである。一つ一つの壊れる確率が
1%と決まっているのだから多くの原子を集めれば,壊れるケースが多く見いだせる。
少ない数の原子では壊れる数も少ない。例えば、宝くじを当てたいと思えば券を何百
枚も買った方が良いだろう。一枚買ったところで当たるとは思えない。
原子が100個有った場合は1秒後には100個のうちの1つが壊れる。だが10秒後の
原子はN(10)=90.4個だから、次の瞬間に壊れる原子の数は90.4個の1%で約0.9個。
これは1個よりほんの僅かだが少ない。そんなわけで最初に有った原子100個が半分
になるには、50秒ではなく,もう少し時間がかかるわけである。具体的に計算すると

N(70)= 0.9970 N0~0.5 N0

であることが分かり,実際の半減期はT≒70秒が答えになる。
この計算を次のように一般化しよう。

1)最初にN0個の原子がある
2)1秒間に壊れる確立をqとする。逆に考えると1秒後に壊れない確立は
 p = 1- q である。

この二つから半減期の公式を導出しよう。先ず時刻t秒後に壊れずに残っている数は

N(t) = p × p × ......× p × N0 = pt N0

となる。この公式を見ればptという数が元の数N0からの減り具合を
決めている事が分かる。すると半減期とは p t = 1/2 となるような時刻tの事である。
この時刻を大文字Tと書く事にしよう。つまり

p T = 1/2 

である。この式は対数を使えばtに関して解く事ができて T = log(1/2)/log(p)
である。1秒後に壊れる確立qを用いると T= log(1/2)/ log(1-q) と表せる。


久しぶりに長い文章を書くと疲れる。解説はこのくらいにして最後は
大きなサイズでの原子崩壊の様子を見て終わりにしましょう。
(50×50=2500のサイズ)
radiodecay1




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