アトムの物理ノート

我々は空間の点を示すために座標系を張った。我々が共通の座標系を用意すれば、お互いに、デパートの位置、お肉屋さんの位置などを数をつかって伝えることができる。三次元空間の位置を示すためには、３っの数の組(x,y,z)や(r,θ,φ）が必要である。この数さえ指定すれば曖昧さなく位置の情報を他人に伝えることができる。次に２つの点を指定して２点間の距離を測りたいときにはどうするか考えた。そこで我々は座標系を張っただけでなく、距離の情報をもった計量g_ijというものがあり、２点間の距離は座標値の差dxⁱとg_ijで

ds²=g_ijdxⁱdx^j

と表されることに気がついた。ここまでが前回のノートで説明した内容であった。 今回は相対性理論を用いた計算を行う上で、非常に便利なテンソルの知識について簡単にまとめておこうと思う。テンソルと言っても、それの数学的に正確な定義などを説明するつもりはない。宇宙論を理解するために必要で最小限の、約束事などをまとめるだけだ。テンソル計算になれた読者はこの章を読み飛ばしてください。

（１）アインシュタインの規約：同じ文字が添え字に使われている場合には、添え字に対する和の記号Σを省略する。

【例】g_ikdx^k=Σ_kg_ikdx^k=g_i1dx¹+g_i2dx²+g_i3dx³



（２）座標の成分dxⁱをg_ijで縮約を取ったものを添え字の位置が下がったdx_iと書くことにする。

【例1】　g_ikdx^k=dx_i

【例2】　g_ikdxⁱdx^k=dxⁱdx_i


（３）計量g_ijの逆行列を添え字が上についたｇで表す。つまり g^ijg_jk=δⁱ_k

【例】　g^ijdx_j=g^ij(g_jkdx^k)=δⁱ_kdx^k=dxⁱ


これらの約束はテンソル、つまり添え字をもった量全てに対して適用する。座標と計量さえ定義されてしまえば、添え字が上や下にある複雑なテンソルもg_ijとその逆行列 g^ijを使って、添え字の位置は自由自在に変えられる。例えば、運動量 pⁱは計量g_ijを用いて、


p_i≡g_ikp^k=g_i1p¹+g_i2p²+g_i3p³


と下の添え字をもった量に変換する事もできる。この場合、下に添え字をもった運動量とは,”本来”の運動量pⁱと計量g_ijの組み合わせで作られた量であることさえしっていれば、添え字が上か下かなどと悩む事もないだろう。この場合、下に添え字をもった運動量は数式が見やすくなるように導入した便利な書き方にすぎない。注意しておきたいのは、我々の定義では上に添え字をもった座標　xⁱ　が最初に与えられた座標点を表すものであり、下に添え字をもった座標は計量と座標 xⁱから作られる便利な書き方に過ぎないと思って良い。

以上がテンソル計算に必要な最小限の知識である。簡単過でつまらない事だが、実際の計算を行う際に上付き下付き添え字で混乱し浮つかないようにしたい。