2017-04

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≪ 光の世界(ゴミ箱行き寸前の企画) ALL テイラー展開の世界その② ≫

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テイラー展開の世界その①

忙しい日々が予定よりもかなり長く続いてしまったので更新をさぼってました。楽しみにしているであろう全国2,3人の読者のみな様、すみませんでした。 まだ忙しい日々が続いていますが、短い記事でも少しずつ更新していきたいと思います。

今回は物理学科必須のテクニック、テイラー展開で遊んでみたいと思います。もっとも簡単なテイラー展開の例を証明なしに挙げておきます。

  1/(1-x)= 1 + x + x2 + x3 + x3 + x4 + …
テイラー展開とは与えられた関数をxnという冪級数の和で表してやろうという事です。例えば最初の例、では、右辺のxの冪関数x0,x1, x2, x3,…を無限に足してゆけば左辺の1/(1-x)に等しいと言っているわけです。試しにx=0,1/2,1,2 と数字を入れてこの主張が正しいかどうか見てみましょう。
x=0の場合:  左辺=1/(1-x)=1/(1-0)=1,  右辺=1+x+x2+…=1+0+0+…=1
と右辺と左辺は等しい。

x=1/2の場合: 左辺=1/(1-x)=1/(1-1/2)=1/(1/2)=2,
右辺=1+x+x2+…=1+1/2+1/4+1/8+1/16…=1.999 (10項までの近似)

と10項まで足したらほぼ等しい結果が得られました。因みに20項まで足すと1.99999となります。この和を無限にとっていけばこれは2になりそうです。

x=1の場合: 左辺= 1/(1-x)=1/(1-1)=1/0=∞, 右辺= 1+x+x2+…=1+1+1+…=∞

これは∞=∞だから等しいと思うかもしれませんが、通常は無限大を取り扱うのは危険ですから等式が成立しているかどうかは疑問がのこります。x=2を試してみましょう。

x=2の場合: 左辺=1/(1-x)=1/(1-2)=1/(-1)=-1, 右辺=1+2+22+23+24+…=∞

これは明らかにおかしいです。左辺は(-1)というちゃんとした数ですが、右辺は∞となり等式は成立していません。

まとめてみると、1/(1-x)=1+x+x2+x3+x4+ … はxが大きくなりすぎると右辺の級数が∞というおかしなことになりこの等式は成立しなくなります。つまりテイラー展開はxが小さいところで安心して使える等式であるということです。式において,テイラー展開が破綻するxの値を調べてみるとx=1がその境界点であることが分ります。このx=1を1/(1-x)のテイラー展開の収束半径(補足1)といいます。これらのことを踏まえてのテイラー展開をもう少し精密に書くと

  1/(1-x)=1+x+x2+x3+x4+… (|x|<1)

となります。|x|<1 という不等式が成立する領域を明確にする注意書きが入ります(補足2)。 

(補足1) ここでの議論では、なぜ収束"半径"と呼ぶのか、円の半径との関係が見えてきません。実はxの値を複素数まで拡張し、複素平面内においてテイラー展開の破綻する点を調べると原点を中心とした半径1の円が境界になる事が分ります。よって収束半径と呼ぶのも納得がいきます。
(補足2)xがあまり大きな負の値になると同じように∞の問題が出てきます。負のxでテイラー展開が破綻する点はx=-1ですから |x|<1という領域制限がつきます。

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