2017-04

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≪ テイラー展開の世界その① ALL テイラー展開の世界③ ≫

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テイラー展開の世界その②

次はもうすこし複雑なテイラー展開を調べて見ましょう。やはり証明なしでテイラー展開の式を与えておきます。


  (1+x)a= 1 + a x/1! + a(a-1)x2/2! - a(a-1)(a-2)x3/3! + a(a-1)(a-2)(a-3)x4/4! + …
さてこの式が本当に成立するかどうか調べて見ましょう。先ず


a=1の場合:
  左辺=(1+x)a=(1+x)1=1+x
  右辺=1+a x/1!+ a(a-1)x2/2!+ …=1+1*x/1!+0+…=1+x


a=1の場合には(a-1)の因子がある項はすべてゼロになり消えてしまいます。右辺と左辺が等しいことも直ぐにわかります。同様にa=2の場合もこの式が成立する事がわかります。それでは負の冪 a=-1 ではどうなるでしょう?


a=-1の場合:
  左辺=(1+x)a=(1+x)-1=1/(1+x)
  右辺=1+a x/1!+ a(a-1)x2/2!+ …=1-x+x2-x3+…


となり右辺の級数は前回の式と非常に似ています。実際に前回の式でxを-xに置き換えるとこれは1/(1+x)=1-x+x2-x3+…となります。xに適当な数字を入れてやればこの式が成立するのを確認するのも容易です。

さてこのテイラー展開の式、実はaが整数に限らず使える式なのです。例えばa=1/2とすれば2乗根を求めるのに使えます、やってみましょう。


a=1/2, x=1 :
左辺=(1+x)a=(1+1)1/2=√2=1.414…
右辺=1+a x/1!+ a(a-1)x2/2!+ …=1+1/2-1/8+1/16-5/128…=1.411 (10項までの和)

となり√2の近似値が得られます。もちろん10項までしか和を取っていないので多少のずれは生じています。電卓があれば1.414を再現するために和を100項取る事も可能です。

ちょっとしたお遊びで√3の値をテイラー展開を使って計算してみましょう。先程の公式を使うまえにちょっと工夫が必要ですが簡単なことです。

√3=(4-1)1/2=√4*(1-1/4)1/2=2*(1-1/4)1/2


ここでx=-1/4として先程の式を使ってみると

√3=2*(1+x/2-x2/8+x3/16- …)=1.732    (3項までの和)


と中学で習った√3=1.732の値が出てきます。テイラー展開はこのように複雑な式の近似を得るために非常に便利な方法なのです。他にもいろいろと便利な使い方があります。次回は複雑な積分を値を求めるためにテイラー展開を使って見ましょう。

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