自然対数の底 e 入門１
物理でもっとも良く使う関数は何か？ たぶんそれは自然対数の底、オイラーに習ってeと書くと、それの関数exでしょう。高校数学ではあまり深いところまで習わなかったでしょうが、この関数を色んなところで顔を出してくるので基本中の基本として理解してなくてはなりません。そこで高校生程度の知識で読める「自然対数の底e入門」を書きたい思います。 まず e の定義ですが高校でもならう次のものから出発しましょう。
この式をn=10,100,1000,10000 と大きくしていって∞でどんな数になるのかやってみましょう。
n=10； (1+1/10)10 =2.59…
n=100； (1+1/100)100 =2.70…
n=1000； (1+1/1000)1000 =2.716…
n=10000； (1+1/10000)10000 =2.718…
n=100000； (1+1/100000)100000 =2.718…
こんな計算はコンピュータを使ってやれば直ぐに出てくるんでどうやったのとかいうことは考えないでください。とにかく n にすごく大きな数を代入すれば大体 e=2.718… となっているようです。 さてe=2.718…くらいだろうということですが、n を大きくしていった時、例えば n=1010 までやると、突然
n=1010； (1+1/1010)1010 ＝?＝2.719…
となって、小数点以下3つ目の数が８ではなく９になるかも知れない、だからe= 2.719…かも？と心配になってきます。もっと極端なこと言えば n=10100と大きく取ると
n=10100； (1+1/10100)10100 ＝?＝3.0…
となったらどうするの？ という事になります。つまりeの定義の収束性というものが問題になってきます。そもそもこの式は収束するのでしょうか？
eの定義を展開すると何か分るかもしれません。 ｎ が分ってないから展開できないという人がいるかもしれませんが、それならn=1,2,3，…と順番にやって行きましょうということになります。そんな先の見えないことをやるのは無駄だと思わずに、何か分るかもしれないならやってみようと手を動かす方が大事です。
n=1; (1+1/1)1=1+1
n=2; (1+1/2)2=1+2*(1/2)+(1/2)2
n=3; (1+1/3)3=1+3*(1/3)+3*(1/3)2+(1/3)3
n=3; (1+1/4)4=1+4*(1/4)+4*3/2(1/4)2+4*3/2(1/4)3+(1/4)4
この数列、ｎ個の中からk個を選び出す組み合わせ nCk=n!/k!/(n-k)!を使えば
と一般的な形にできます。なぜって、(1+1/n)のn乗は(1+1/n)がｎ個かかっているってことで、
(1+1/n)n=(1+1/n)(1+1/n).....(1+1/n)(1+1/n)(1+1/n)
ですね。このｎ個の掛け算から(1/n)が k回かかる項はいくつあるかって考える、つまり (1/n) を k個かけた項を作るために、n 個の（１+1/n)のどれから(１/n) が来たのか考え, n個からk個選び出す場合の数 = n!/k!(n-k)! が答えだとわかるのでした。このkを０〜ｎまで変化させてやれば全ての展開項が分かります。ここが分りづらい人は数学の教科書を見直してみると良いかもしれません。 そうやって求めた式を少し変形してやると
(1+1/n)n
＝ Σk=0〜n nCk (1/n)k
＝ Σk=0〜n (1-1/n)(1-2/n)(1-3/n)....(1-(k-1)/n)/k!
と分ります。この最後の式でn→∞としてやると
e ＝ Limn→∞(1+1/n)n ＝ Σk=0〜∞ 1/k!
だという事がわかります。
なんか最後の式はすごく短い綺麗な形になりました。そしてこの式はkが大きい項は１/k!ですから、非常に小さくこれなら
ｋ＝１０くらいまで足しただけでも十分なeの値が得られそうです。
Σk=0〜10 1/k! = 2.718…
と最初の予想どおり e=2.718…となります。足し忘れた項ｋ＝11,12,13，…などは、例えば1/11!=0.00000027…のように非常に小さいので２．７１８…の８の値を変えることはなさそうですね。
今回は自然対数の底がe＝2.718…という値をもつことを説明しました。その際便利な公式を一つ導出することができました。まとめると
という式を発見した事です。次回はこの式をつかって自然対数の不思議をさらに追求していきます。
| e = limn→∞(1+1/n)n |
この式をn=10,100,1000,10000 と大きくしていって∞でどんな数になるのかやってみましょう。
n=10； (1+1/10)10 =2.59…
n=100； (1+1/100)100 =2.70…
n=1000； (1+1/1000)1000 =2.716…
n=10000； (1+1/10000)10000 =2.718…
n=100000； (1+1/100000)100000 =2.718…
こんな計算はコンピュータを使ってやれば直ぐに出てくるんでどうやったのとかいうことは考えないでください。とにかく n にすごく大きな数を代入すれば大体 e=2.718… となっているようです。 さてe=2.718…くらいだろうということですが、n を大きくしていった時、例えば n=1010 までやると、突然
n=1010； (1+1/1010)1010 ＝?＝2.719…
となって、小数点以下3つ目の数が８ではなく９になるかも知れない、だからe= 2.719…かも？と心配になってきます。もっと極端なこと言えば n=10100と大きく取ると
n=10100； (1+1/10100)10100 ＝?＝3.0…
となったらどうするの？ という事になります。つまりeの定義の収束性というものが問題になってきます。そもそもこの式は収束するのでしょうか？
eの定義を展開すると何か分るかもしれません。 ｎ が分ってないから展開できないという人がいるかもしれませんが、それならn=1,2,3，…と順番にやって行きましょうということになります。そんな先の見えないことをやるのは無駄だと思わずに、何か分るかもしれないならやってみようと手を動かす方が大事です。
n=1; (1+1/1)1=1+1
n=2; (1+1/2)2=1+2*(1/2)+(1/2)2
n=3; (1+1/3)3=1+3*(1/3)+3*(1/3)2+(1/3)3
n=3; (1+1/4)4=1+4*(1/4)+4*3/2(1/4)2+4*3/2(1/4)3+(1/4)4
この数列、ｎ個の中からk個を選び出す組み合わせ nCk=n!/k!/(n-k)!を使えば
| (1+1/n)n = Σk=0〜n nCk (1/n)k |
と一般的な形にできます。なぜって、(1+1/n)のn乗は(1+1/n)がｎ個かかっているってことで、
(1+1/n)n=(1+1/n)(1+1/n).....(1+1/n)(1+1/n)(1+1/n)
ですね。このｎ個の掛け算から(1/n)が k回かかる項はいくつあるかって考える、つまり (1/n) を k個かけた項を作るために、n 個の（１+1/n)のどれから(１/n) が来たのか考え, n個からk個選び出す場合の数 = n!/k!(n-k)! が答えだとわかるのでした。このkを０〜ｎまで変化させてやれば全ての展開項が分かります。ここが分りづらい人は数学の教科書を見直してみると良いかもしれません。 そうやって求めた式を少し変形してやると
(1+1/n)n
＝ Σk=0〜n nCk (1/n)k
＝ Σk=0〜n (1-1/n)(1-2/n)(1-3/n)....(1-(k-1)/n)/k!
と分ります。この最後の式でn→∞としてやると
e ＝ Limn→∞(1+1/n)n ＝ Σk=0〜∞ 1/k!
だという事がわかります。
なんか最後の式はすごく短い綺麗な形になりました。そしてこの式はkが大きい項は１/k!ですから、非常に小さくこれなら
ｋ＝１０くらいまで足しただけでも十分なeの値が得られそうです。
Σk=0〜10 1/k! = 2.718…
と最初の予想どおり e=2.718…となります。足し忘れた項ｋ＝11,12,13，…などは、例えば1/11!=0.00000027…のように非常に小さいので２．７１８…の８の値を変えることはなさそうですね。
今回は自然対数の底がe＝2.718…という値をもつことを説明しました。その際便利な公式を一つ導出することができました。まとめると
| e ≡ Limn→∞ (1+1/n)n ＝ Σn=0〜∞ 1/n!= 2.718… |
という式を発見した事です。次回はこの式をつかって自然対数の不思議をさらに追求していきます。
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