自然対数の底 e入門２
前回は自然対数の底eの定義について説明して便利な公式を導出しました。
さて今回はeを使った関数y=exについて調べたみたいと思います。この関数には面白い性質がいろいろあることが知られています。この関数をよく理解できればそれだけでも相当な数学の力がつくと思います。細かい計算は飛ばしてもよいのですが、やっていることの意味を理解してください。
さて関数をしらべるわけなので適当なｘでのyの値が問題になります。例えば簡単なeの整数乗からやってみましょう。面倒ですが
e1=e=2.718…
e2=e×e=7.389…
e3=e×e×e=20.085…
e4=e×e×e×e=54.598…
e5=e×e×e×e×e=148.413…
と根気さえあればeの整数冪の値が求まります。次々と掛けて表をつくればそう難しいことでもないでしょう。この値から横軸はx、縦軸にそのときの値exをとってグラフが描けます。
それならば半整数点での値e1/2，e3/2e5/2，…はどうなるでしょうか。e1/2は二乗したらe=2.718…になる数ですから、電卓をはじけば e1/2 = √（2.718…) = 1.648… と求まります。この値を使えば半整数点での値がもとまります。
e3/2 = e1/2×e1/2×e1/2 = 4.481…
e5/2 = e1/2×e1/2×e1/2×e1/2×e1/2 = 12.182…
面倒ですが難しいことは何もないですね。この値をグラフにすると次のようになります。
同じ事を今度はe1/4，e3/4，e5/4，…に対してやると次のグラフが描けます。ただしe1/4 = (e1/2)1/2=√1.648… =1.284…を使います。
これまで作った３つのグラフを重ねてみましょう。下の図をみればx軸の値を多く取れば点と点はつながってゆくのが分ります。これでeの肩に整数や分数がある場合にどうやって計算するのか分ってもらえたと思います。そしてそれをグラフにしたらy = exの関数ということになります。
ｘにどんな値が入っても計算できそうですね。でも相当面倒くさいですね、ルートを計算したり、何度も掛け合わせてみたり。電卓なしではとても出来そうもありません。もっと便利な別な方法はないものでしょうか。前回やった方法をexにも使えないか試してみましょう。
ex=[ Limn→∞(1+1/n)n]x
= Limn→∞(1+1/n)nx
= Limm→∞(1+x/m)m
最初の変形では極限をとる前にｎ乗してから極限を取るという操作におきかえました。最後の式ではnx=mとおいてｎを消去してmとｘで表しました。m→∞をとる前に式を整理しておきます。2項展開の公式(補足）を使えば
(1+x/m)m
= Σk mCk (x/m)k
= Σk [ m!/k!/(m-k)!] xk/mk
= Σk [(1-1/m)(1-2/m)(1-3/m)…(1-(k-1)/m)] xk/k!
となります。この計算はｘが入ってるますが、前回と殆ど同じです。最後の表式でm→∞の極限をとると1/mがある項は全てゼロとなり、答えは
と前回の最後に導いた式をｘ乗に拡張した式が導出できました。この式を使えばグラフがもっと簡単に描けます。例えばｋを10まで和を取った式
1+x/1!+x2/2!+x3/3!+ … ＋ x10/10!
を使ってグラフを描いてみます。k > 10の項は分母にk!のために非常に小さい数になります。そういうことで和を１０項くらいにとれば非常に良い近似となっています。
この図を先ほどの図と重ねて結果が一致するかどうか見てみましょう。
下に図がありますがどうですか？ピッタリ一致していますね、これは不思議なことです。何故なら最初の方法ではx=1/2とかx=1/4とかの場合ルートをとり更にそのルートを取るなどの複雑なことをしました。最後に求めた便利な公式を使えばルートは出てきません。ｋ！が分母にあるために階乗を計算しなくてはいけないのが面倒ですがそれにしても１０項計算しただけで同じ結果が得られるのは非常に不思議です。
次回はオイラーの公式ついて説明したいと思います。
(補足）
二項展開の公式は (a+b)n=Σk nCk an-kbk でした。ｋの和は０〜ｎまで、そしてnCkはｎ個の中からｋ個を選び出す時の組み合わせの数で nCk=n!/k!/(n-k)!
| e ≡ Limn→∞ (1+1/n)n ＝ Σn=0〜∞ 1/n! ＝2.718… |
さて今回はeを使った関数y=exについて調べたみたいと思います。この関数には面白い性質がいろいろあることが知られています。この関数をよく理解できればそれだけでも相当な数学の力がつくと思います。細かい計算は飛ばしてもよいのですが、やっていることの意味を理解してください。
さて関数をしらべるわけなので適当なｘでのyの値が問題になります。例えば簡単なeの整数乗からやってみましょう。面倒ですが
e1=e=2.718…
e2=e×e=7.389…
e3=e×e×e=20.085…
e4=e×e×e×e=54.598…
e5=e×e×e×e×e=148.413…
と根気さえあればeの整数冪の値が求まります。次々と掛けて表をつくればそう難しいことでもないでしょう。この値から横軸はx、縦軸にそのときの値exをとってグラフが描けます。
それならば半整数点での値e1/2，e3/2e5/2，…はどうなるでしょうか。e1/2は二乗したらe=2.718…になる数ですから、電卓をはじけば e1/2 = √（2.718…) = 1.648… と求まります。この値を使えば半整数点での値がもとまります。
e3/2 = e1/2×e1/2×e1/2 = 4.481…
e5/2 = e1/2×e1/2×e1/2×e1/2×e1/2 = 12.182…
面倒ですが難しいことは何もないですね。この値をグラフにすると次のようになります。
同じ事を今度はe1/4，e3/4，e5/4，…に対してやると次のグラフが描けます。ただしe1/4 = (e1/2)1/2=√1.648… =1.284…を使います。
これまで作った３つのグラフを重ねてみましょう。下の図をみればx軸の値を多く取れば点と点はつながってゆくのが分ります。これでeの肩に整数や分数がある場合にどうやって計算するのか分ってもらえたと思います。そしてそれをグラフにしたらy = exの関数ということになります。
ｘにどんな値が入っても計算できそうですね。でも相当面倒くさいですね、ルートを計算したり、何度も掛け合わせてみたり。電卓なしではとても出来そうもありません。もっと便利な別な方法はないものでしょうか。前回やった方法をexにも使えないか試してみましょう。
ex=[ Limn→∞(1+1/n)n]x
= Limn→∞(1+1/n)nx
= Limm→∞(1+x/m)m
最初の変形では極限をとる前にｎ乗してから極限を取るという操作におきかえました。最後の式ではnx=mとおいてｎを消去してmとｘで表しました。m→∞をとる前に式を整理しておきます。2項展開の公式(補足）を使えば
(1+x/m)m
= Σk mCk (x/m)k
= Σk [ m!/k!/(m-k)!] xk/mk
= Σk [(1-1/m)(1-2/m)(1-3/m)…(1-(k-1)/m)] xk/k!
となります。この計算はｘが入ってるますが、前回と殆ど同じです。最後の表式でm→∞の極限をとると1/mがある項は全てゼロとなり、答えは
| ex = Σk=0〜∞ xk/k! |
と前回の最後に導いた式をｘ乗に拡張した式が導出できました。この式を使えばグラフがもっと簡単に描けます。例えばｋを10まで和を取った式
1+x/1!+x2/2!+x3/3!+ … ＋ x10/10!
を使ってグラフを描いてみます。k > 10の項は分母にk!のために非常に小さい数になります。そういうことで和を１０項くらいにとれば非常に良い近似となっています。
この図を先ほどの図と重ねて結果が一致するかどうか見てみましょう。
下に図がありますがどうですか？ピッタリ一致していますね、これは不思議なことです。何故なら最初の方法ではx=1/2とかx=1/4とかの場合ルートをとり更にそのルートを取るなどの複雑なことをしました。最後に求めた便利な公式を使えばルートは出てきません。ｋ！が分母にあるために階乗を計算しなくてはいけないのが面倒ですがそれにしても１０項計算しただけで同じ結果が得られるのは非常に不思議です。
次回はオイラーの公式ついて説明したいと思います。
(補足）
二項展開の公式は (a+b)n=Σk nCk an-kbk でした。ｋの和は０〜ｎまで、そしてnCkはｎ個の中からｋ個を選び出す時の組み合わせの数で nCk=n!/k!/(n-k)!
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