2017-04

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≪ 量子力学って・・・ ALL 量子力学その2 知りたいこと ≫

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量子力学その1

トーラス上の量子化について友人と話をしたときに、途中から頭が働かなくなりました。量子力学の基礎がわかってない、勉強不足を痛感です。そこで量子力学について自分なりに勉強しなおそうと常々思っていました。あれから何年たったでしょう・・・・・。今になってやっと勉強はじまりました。

時空に歪みがあったりトポロジカル空間を頭の隅におきつつ、基礎から整理するつもりでまとめていきます。しかし基礎から始めるとはいいつつも量子力学のコースを一度も受けたことのない人には役に立たない可能性大です。また、とんでもない勘違いをしてる可能性もありますから、間違いを指摘してくれる方大歓迎です。今は数学的な厳密性などは気にしていません、程度によりますが。

いくつかの仮定をおきそこからどれだけのことが言えるのかという立場ですすめていきます。自分でもこのノートがどんなことになるか、その結末が見えません。行き詰ってやめてしまうかも知れませんし、ありきたりな定式化におちつくかもしれません。もちろん自分なりの整理がつき、読者の理解も得られればベストですがそうなる確立は低いでしょう。

それでは量子力学のはじまりです;


(A1)物理的状態を記述する状態ベクトルがある:|ψ>


(A2)異なる物理量に対応する状態ベクトルは直行する:<ψ|φ>=0


の二つから出発したらどうかなと思います。もしかしたらこれらから出発するのはよろしくないということになるかもしれませんが、今の僕にはこの仮定がわかりやすいのです。

少し説明をします。仮定(A1)はこれ以上説明が仕様がないように思いますが、初学者のことも考えて例をあげておきます。たとえば電子がx=aに局在したとします、そしてそれを表す数学的な記号を単に|x=a>と書くということです。もしも電子がスピンを持っていれば|x=a,s=+1/2>など
とどんどん情報を追加していけばいいだけです。そして、物理量つまり観測にかかる量が違えばその状態は区別されるわけです。たとえば|x=1>と|x=2>は違う状態であるということです。違うということを数学的に表現しなければなりませんが、それを仮定(A2)とするということです。
観測にかかる量がことなる状態、それらは直交するとします、例えば=0となる。これは将来観測量に対応した演算子のエルミート性に翻訳されるわけですが、演算子のエルミート性よりもわかりやすいと思われるのでこちらを採用しました。

さて内積<ψ|φ>がでてきましたが、この内積がどんなふうに定義されているのかはまだわかりません。これからいろいろ調べていっていろんなことを規定していきたいと思います。また何が物理量かということは非常に難しい問題ですが、この時点では物理量を定義してないために漠然
としたものです。「観測量とは実験で測れるもの」としておきます、位置や運動量を頭に浮かべておけばいいでしょう。そして、その実験値がことなる状態というのは区別がついており、それらは直交するという要請をおきます。

(A3)物理量(観測量)は状態ベクトルに作用する線形演算子として表現され、その固有地は観測量とする: X|ψ>=x|ψ> ならxは物理量Xの観測値。 


さて、(A3)の要請から|ψ>の定数倍も同じ状態を表すと考えられますから、|ψ>のノルムには物理的な意味合いがあまりないと思われるので|ψ>を規格化しておきます。
(*崩壊していく粒子などを量子力学的に扱うとき、ノルムは時間とともに小さくなっていく。また散乱問題ではノルムが規格化できない状態(平面波)なども考える。ノルムの変化を扱うような量子力学体系があるのかもしれないが深入りしない。) 

さて異なる物理量に対応する状態ベクトルは直交するということから、状態ベクトルのスペクトル分解が考えられそうです。ここで更に仮定が一つはいります、つまり物理量の完全性です。一般の状態|ψ>は物理量Xの観測値ごとに一意的に分解できるということを仮定します。


|ψ>=Σa |X=a><X=a| ψ>..........(1)

状態|X=a>は規格化されたものだとしてあります。
この仮定は大事ですが、なんとなく当たり前にも思えてきます。われわれの観測できない物理量があって、そういう状態を考えなくちゃいけないというのは考えにくい。ここで <ψ|ψ>を取ってみると

1=Σa|<X=a|ψ>|2.............(2)


となりますが、これはr(a)=||2 を系|ψ>が状態|X=a>を含む割合とみなせるのではないかと思わせる。そこでこれを観測に関する仮定として採用する。


(A4) |<X=a|ψ>|2 は状態|ψ>が物理量Xに関してaを取る確率とする。


この(A4)の仮定を採用すると

<X>≡<ψ|X|ψ>=Σa a*|<X=a|ψ>|2.........(3)


は量子力学的期待値になる。


第一回はこれくらいにしておきます。
なんか面倒だなぁ、説明全然論理的じゃない、などなどあることでしょう。数学的なことは全然書いてないし、でも、明らかに色んなことを数学的には仮定してますよね。この記事を草案としていろん議論や,もっとわかりやすい定式化とかを話し合えればそれでいいんです。私の頭の隅にはトーラス上の量子化があったので、演算子のエルミート性とか
交換関係から出発するのはなんとなくさけたかったんですが、これでうまくいくのかどうか・・・・
わかりません(笑)。

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