自然対数の底e入門４
そろそろe入門は終わりに近づいています。今回と次回でこの記事を締めくくりたいと思います。「自然対数の底e入門」を最後まで読めた暁には数学の力がかなりついていると思います。残り2回の記事を楽しんでください。
前回オイラーの公式を証明しました。簡単な場合、θ=πについて理解を深めていきましょう。その場合、オイラーの公式は eiπ = -1 です。 前回の証明を理解した人なら、「eの（虚数×π）乗するってどういう意味？」という質問の答えは用意されているはずです。友達に尋ねられたときには
と教えてあげましょう。このeの右辺の表式にはiπの二乗や三乗はでてきますが決して虚数乗なんてものはでてきません。もちろん和をずっと取っていかなければなりませんが、それは単に技術的な問題です。
実際にｘにiπを代入してみましょう。
eiπ = 1+iπ/1!-π2/2!-iπ3/3!+π4/4!+iπ5/5!+…
= [ 1-π2/2!+π4/4!-π6/6!+…] +i[ π/1!-π3/3!+π5/5!-π7/7!+…]
規則性をみてください、iが現れるのはいつも奇数冪の項だけです。そこで偶数冪と奇数冪を分けて書きました。符号は交互にでてくるのが分るでしょう。πの偶数冪と奇数冪の和を別々に適当なところまでの部分和をとって調べてみます。どんな値になるでしょうか。
部分和 = [ 1-π2/2!+π4/4!-π6/6! … -π10/10!] = -1.00183…
偶数冪の和に関して１からπ5まで６つの項を足したらほぼ -１ですが小数点の3桁目に183…なので-1からのずれはそんなに小さくないです。もっと頑張って足してみましょう
部分和 = [ 1-π2/2!+π4/4!-π6/6! … -π20/10!] = -0.99999999992…
π20まで11項の和を取ってみました。なんと９が10個も並んでいます。このままずっとやっていけばこの答えは-1になるだろうと納得できます。同じことを奇数冪の和に対してもやってみます。
部分和 = i [π/1!-π3/3!+π5/5!-π7/7!+ … -π11/11!] =i (-0.00044…)
もっとやってみましょう
部分和 = i [π/1!-π3/3!+π5/5!-π7/7!+ … -π21/21!] =i(-0.0000000000103…)
ゼロが10個も並んでいます。この数は和を無限まで取ればゼロになるだろうという事がわかります。まとめるとπの偶数冪の項は-1になり、奇数冪の項はゼロになります。
も納得できたんじゃないでしょうか、この無限に続く和はeiπの定義ですからオイラーの公式は実際に正しいということです。こうやって計算してみると不思議に見える公式も少しずつ馴染みがわいてくるのではないでしょうか。
前回オイラーの公式を証明しました。簡単な場合、θ=πについて理解を深めていきましょう。その場合、オイラーの公式は eiπ = -1 です。 前回の証明を理解した人なら、「eの（虚数×π）乗するってどういう意味？」という質問の答えは用意されているはずです。友達に尋ねられたときには
| eiπ はeを(虚数×π)個かけるという意味ではなく、eの公式 ex=1+x/1!+x2/2!+x3/3!+x4/4!+x5/5!+… の右辺ｘにiπを代入して計算するっていうこと。 |
と教えてあげましょう。このeの右辺の表式にはiπの二乗や三乗はでてきますが決して虚数乗なんてものはでてきません。もちろん和をずっと取っていかなければなりませんが、それは単に技術的な問題です。
実際にｘにiπを代入してみましょう。
eiπ = 1+iπ/1!-π2/2!-iπ3/3!+π4/4!+iπ5/5!+…
= [ 1-π2/2!+π4/4!-π6/6!+…] +i[ π/1!-π3/3!+π5/5!-π7/7!+…]
規則性をみてください、iが現れるのはいつも奇数冪の項だけです。そこで偶数冪と奇数冪を分けて書きました。符号は交互にでてくるのが分るでしょう。πの偶数冪と奇数冪の和を別々に適当なところまでの部分和をとって調べてみます。どんな値になるでしょうか。
部分和 = [ 1-π2/2!+π4/4!-π6/6! … -π10/10!] = -1.00183…
偶数冪の和に関して１からπ5まで６つの項を足したらほぼ -１ですが小数点の3桁目に183…なので-1からのずれはそんなに小さくないです。もっと頑張って足してみましょう
部分和 = [ 1-π2/2!+π4/4!-π6/6! … -π20/10!] = -0.99999999992…
π20まで11項の和を取ってみました。なんと９が10個も並んでいます。このままずっとやっていけばこの答えは-1になるだろうと納得できます。同じことを奇数冪の和に対してもやってみます。
部分和 = i [π/1!-π3/3!+π5/5!-π7/7!+ … -π11/11!] =i (-0.00044…)
もっとやってみましょう
部分和 = i [π/1!-π3/3!+π5/5!-π7/7!+ … -π21/21!] =i(-0.0000000000103…)
ゼロが10個も並んでいます。この数は和を無限まで取ればゼロになるだろうという事がわかります。まとめるとπの偶数冪の項は-1になり、奇数冪の項はゼロになります。
| eiπ = 1+iπ/1!-π2/2!-iπ3/3!+π4/4!+iπ5/5!+… = -1 |
も納得できたんじゃないでしょうか、この無限に続く和はeiπの定義ですからオイラーの公式は実際に正しいということです。こうやって計算してみると不思議に見える公式も少しずつ馴染みがわいてくるのではないでしょうか。
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