自然対数の底e入門５（最終回）
最終回はこれまでの計算を振りかって、なんとなくオイラーの公式が納得できない人の疑問点に答えることを目指してまとめとします。基本となる式は
ex = 1+x/1! +x2/2!+x3/3!+x4/4!+x5/5!+x6/6!+x7/7! + …
でした。xｎ/n! をn=0〜∞まで足したものをexと書くわけです。 ｘが普通の数の場合、例えばe2ならこれは「eを2回かけること」という普通の計算と同じことになります。興味がある人は上のeの定義をつかって
e2 = 1 + 21/1! + 22/2! + 23/3! + 24/4! + 25/5! + …
=(1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + …)×(1 + 1/1! + 1/2! +1/3! + 1/4! + …)
= e×e
を証明してみてください。つまり最初に書いたeの公式は
という性質を持っています。
この式をみてeの肩にあるｘが整数 nの場合には
と確かにeをｎ回かけることになります。しかしこの説明では
e1/2 = eを１/2回かけること？
e-1 = eを -1回かけること？
という疑問がわいてきます。つまり指数関数の説明に 「何回かけること」という説明は良くないのです。そこで大学では、「何回かけること」という説明ではなく、exは最初の式で定義されるとします。そうすることによって exは虚数にも使えるもっと適用範囲の広いものになるわけです。
前回はこの式をeの肩に虚数がある場合にも使えるということを説明しました。eiπは最初に挙げた式をつかって(iπ)n/n!の無限和を計算するということなのです。eiπは、けっしてeを iπ 回 かけたものではない！ のです。「虚数回かける」と考えてしまうとまったく理解不可能な式になってしまいます。
さてこのことが理解できた人には、大学物理学で出てくる次の式も理解できるでしょう。
eσ （ここでσはパウリ行列）
σ = (1， 0)
(0， -1)
eの肩に行列？と驚かないでください。計算できるかどうかは別としてこの式はσn/n!をn=0〜∞まで足すということです(σnはσをｎ回かけることですね）。大学ではいろいろと分らないところが出てきますが、基本を理解していればそんなに難しいことではなかったという事が良くあります。基本をおさえることは勉強の時間を節約できるということです。基本をおさえておけば後の伸びが違いますから何事も基本が大事だと思います。
ex = 1+x/1! +x2/2!+x3/3!+x4/4!+x5/5!+x6/6!+x7/7! + …
でした。xｎ/n! をn=0〜∞まで足したものをexと書くわけです。 ｘが普通の数の場合、例えばe2ならこれは「eを2回かけること」という普通の計算と同じことになります。興味がある人は上のeの定義をつかって
e2 = 1 + 21/1! + 22/2! + 23/3! + 24/4! + 25/5! + …
=(1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + …)×(1 + 1/1! + 1/2! +1/3! + 1/4! + …)
= e×e
を証明してみてください。つまり最初に書いたeの公式は
ea + b=ea × eb |
という性質を持っています。
この式をみてeの肩にあるｘが整数 nの場合には
en=e1+(n-1) = e1×en-1 = e1×e1×en-2 = … = e×e×e×e×…×e (n回の掛け算） |
と確かにeをｎ回かけることになります。しかしこの説明では
e1/2 = eを１/2回かけること？
e-1 = eを -1回かけること？
という疑問がわいてきます。つまり指数関数の説明に 「何回かけること」という説明は良くないのです。そこで大学では、「何回かけること」という説明ではなく、exは最初の式で定義されるとします。そうすることによって exは虚数にも使えるもっと適用範囲の広いものになるわけです。
前回はこの式をeの肩に虚数がある場合にも使えるということを説明しました。eiπは最初に挙げた式をつかって(iπ)n/n!の無限和を計算するということなのです。eiπは、けっしてeを iπ 回 かけたものではない！ のです。「虚数回かける」と考えてしまうとまったく理解不可能な式になってしまいます。
さてこのことが理解できた人には、大学物理学で出てくる次の式も理解できるでしょう。
eσ （ここでσはパウリ行列）
σ = (1， 0)
(0， -1)
eの肩に行列？と驚かないでください。計算できるかどうかは別としてこの式はσn/n!をn=0〜∞まで足すということです(σnはσをｎ回かけることですね）。大学ではいろいろと分らないところが出てきますが、基本を理解していればそんなに難しいことではなかったという事が良くあります。基本をおさえることは勉強の時間を節約できるということです。基本をおさえておけば後の伸びが違いますから何事も基本が大事だと思います。
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