2017-09

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≪ 特殊相対論, 光子の質量についてよくある間違い  ALL ブロッホの定理 (1) ≫

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難問その1

どこかの日記で見つけた問題だが、どうやったらよいのか分らないのでここに掲示しておく。どっかの大学院の入試問題だったらしいので、かなりレベルは高いと思われる。
問題:次の極限を求めよ。


Limn→∞ n×∫…∫1/[x1+x2+…+xn]dx1dx2…dxn



積分領域はすべてのxに対して0~1です。問題が書いてあったページには答えは2ではないかと予想してありまして、どうやら2になりそうです。うまい証明が思いついた人は是非掲示板なりメイルなりで解答送ってください。

コメント

<f(x1、x2、x3、…)>=f(<x1>、<x2>、<x3>、…)

と平均値で置き換えたらよいじゃんということですね。

うーん、なんかそれっぽい。
基礎知識が不足していて、証明のレベルまでは持っていけませんが、直感的に分かりやすいぶん、証明まで持っていく時に気をつけないといけないかも・・・

久しぶりにコメントもらえたので嬉しいです。また何か分かったらどんどん書き込んでください。

証明じゃなくて推測ですが……

x_j (1≦j≦n)を「等確率で 0 から 1 までの実数値をとりうる確率変数」とする。(x_jの平均値μ = 1/2 )

「∫…∫ n/(x_1 + x_2 + … + x_n) dx_1 dx_2 … dx_n」は「n/(x_1 + x_2 + … + x_n) の期待値」?

たぶん大数の強法則より「n→∞ のとき、 (x_1 + x_2 + … + x_n)/n = μ となる確率→ 1 」
逆数をとって「n→∞ のとき、 n/(x_1 + x_2 + … + x_n) = 1/μ となる確率→ 1 」?
(これで 1/μ 以外の有限値になるケースは無視できると思う)

n≧2 では n/(x_1 + x_2 + … + x_n) より dx_1 dx_2 … dx_n の方が高位の無限小だと思うので、
「lim{ε→0}∫…∫ n/(x_1 + x_2 + … + x_n) dx_1 dx_2 … dx_n = 0(n≧2,積分範囲は 0 からε)」のはず?
(これで無限大になるケースも無視できると思う)

以上より「lim{n→∞} ∫…∫ n/(x_1 + x_2 + … + x_n) dx_1 dx_2 … dx_n = 1/μ = 2 」?


……というかんじです。自信全くありません。ルベーグ積分っぽいでしょうか? ^^;

確かに確率論で迫るのもありそうだと思いちょっと考えてみましたが、私にはちょっと無理でした。 何か分かったら教えてください。

確率論の「大数の法則」で証明できる気がするのですが。どうですかね……(よくわかんないです)

これたしか答え2になったはずだけど証明の記事かくのわすれてるよ。書いておけよ、未来の俺。

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